No unicidad de soluciones de la ecuación de calor

Question

Para la ecuación del calor $(\partial_t-\partial_x^2)f(t,x)=0$ definido en $[0,T)\times(-\infty,\infty)$, para obtener la unicidad del problema de valor inicial, por lo general es necesario para limitar el crecimiento de la solución potencial en el infinito, es decir,$|f(t,x)|<\exp(c\cdot x^2)$. Mi pregunta es, si no imponemos ninguna de tales condiciones, es la singularidad no es válida? En particular, hay un conocido ejemplo de una función de $f(t,x)$ que satisface la ecuación del calor en $[0,T)\times(-\infty,\infty)$, $f(0,x)=0$, pero $f$ no es idéntica a cero?

Lo que si nos relajamos las condiciones de un poco, y solo se requiere que $f$ satisface la ecuación del calor en $(0,T)\times(-\infty,\infty)$ y es continua en a $[0,T)\times(-\infty,\infty)$, hay un ejemplo en este caso?

Answer 1

El tipo de soluciones que busca porque fueron construidas por Tychonov. Usted puede encontrarlos en el capítulo 7 del libro clásico de Fritz John ecuaciones diferenciales parciales.

Sigue de singularidad de una echada a un lado las desigualdades como en Teorema de Widder: si $f(x,t)$ es una solución no negativo de la ecuación del calor con $f(x,0)=0$, entonces el $f\equiv0$. Usted puede encontrar una prueba otra vez en el capítulo 7 del libro de Fritz John.

Answer 2

Por supuesto usar separación de variables:

Que $f(t,x)=T(t)X(x)$,

Entonces $T'(t)X(x)-T(t)X''(x)=0$

$T'(t)X(x)=T(t)X''(x)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-s^2\\X''(x)+s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-ts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin xs+c_2(s)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore f(t,x)=C_1x+C_2+\int_sC_3(s)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_sC_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds$ or $f(t,x)=C_1x+C_2+\sum_sC_3(s)e^{-ts^2}\sin xs+\sum_sC_4(s)e^{-ts^2}\cos xs$

Esta es ya la solución general en $[0,\infty)\times(-\infty,\infty)$, no sólo en $[0,T)\times(-\infty,\infty)$.

Existan más $f(0,x)=0$, es mejor elegir $f(t,x)=C_1x+C_2+\int_0^\infty C_3(s)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds$

Entonces el substituto $f(0,x)=0$:

$C_1x+C_2+\int_0^\infty C_3(s)\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)\cos xs~ds=0$

$C_1x+C_2+\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_3(s)\}+\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}=0$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_3(s)\}=-C_1x-C_2-\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}$

$C_3(s)=C_1\delta'(s)-\dfrac{2C_2}{\pi s}-\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}\}$

$\therefore f(t,x)=C_1x+C_2+C_1\int_0^\infty\delta'(s)e^{-ts^2}\sin xs~ds-\dfrac{2C_2}{\pi}\int_0^\infty\dfrac{e^{-ts^2}\sin xs}{s}~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2-C_1\Biggl.\dfrac{d}{ds}(e^{-ts^2}\sin xs)\Biggr|_{s=0}-\dfrac{2C_2}{\pi}\int_0^\infty\dfrac{e^{-ts^2}\sin xs}{s}~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2-C_1x-\dfrac{2C_2}{\pi}\int_0^\infty\dfrac{e^{-ts^2}\sin xs}{s}~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_2-\dfrac{2C_2}{\pi}\int_0^\infty\dfrac{e^{-ts^2}\sin xs}{s}~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_4(s)\}\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds$