Dummit y Foote como primer texto de álgebra abstracta

Question

Me pregunto qué tal le iría a Dummit y Foote (3ª ed.) como primer texto de Álgebra Abstracta. He investigado esta cuestión en este sitio, y he encontrado algunas opiniones, que son contradictorias. Algunas personas dicen que es mejor como texto de referencia, o algo para leer después de que uno tiene una buena cantidad de exposición a las ideas principales del álgebra abstracta, mientras que otros han dicho que está bien para un principiante. ¿Es un texto como el de Herstein Temas de Álgebra , Artin's Álgebra o Fraleigh's Un primer curso de álgebra ¿una mejor opción?

He aquí un resumen de las partes de mi formación matemática que supongo que son relevantes. He cubierto la mayor parte de la famosa obra de Spivak Cálculo texto (en particular la sección sobre los campos, la construcción de $\mathbf{R}$ de $\mathbf{Q}$ y mostrando la singularidad de $\mathbf{R}$ que es probablemente la más relevante para el álgebra abstracta) por lo que me siento totalmente cómodo con las pruebas rigurosas. También tengo un sólido conocimiento de la teoría elemental de los números; las partes que supongo que son más relevantes para el álgebra abstracta son que he trabajado con la aritmética modular (hasta demostrar resultados fundamentales como el Teorema de Euler y la Ley de Reciprocidad Cuadrática), el grupo multiplicativo $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\times}$ (por ejemplo, cuáles son cíclicos), anillos polinómicos como $\mathbf{Z}[x],$ y estudiando el algoritmo de división y la factorización única en $\mathbf{Z}[\sqrt{d}]$ (para $d \in \mathbf{Z}$ ). Sólo tengo un poco de experiencia con el álgebra lineal (unas 30 páginas más o menos de la obra de Halmos Espacios vectoriales de dimensión finita y un poco de conocimiento computacional con las matrices) sin embargo.

Dicho esto, no tengo mucha exposición al álgebra abstracta real. Sé lo que es un grupo, un anillo, un campo y un espacio vectorial, pero no he trabajado mucho con estas estructuras (es decir, puedo dar una definición, pero tengo poca intuición y sólo pequeñas listas de ejemplos). No tengo ninguna duda de que Dummit y Foote es lo suficientemente completo para mis propósitos (espero utilizarlo sobre todo para las secciones de teoría de grupos, teoría de anillos y teoría de Galois), pero ¿es un buen texto para construir intuiciones y listas de ejemplos en álgebra abstracta para alguien que no tiene básicamente nada de esto? ¿Podré, más que aprender teoremas y técnicas básicas, desarrollar una visión más abstracta e intuitiva comprensión de de las estructuras fundamentales (grupos, anillos, módulos, etc.)? Es un texto muy extenso y supuestamente denso, así que ¿se perderá la gran "imagen" de la teoría de grupos, por ejemplo? He oído que es un libro para personas que tienen alguna intuición básica en teoría de grupos y anillos, y dudo en ponerme en esta categoría dada la descripción de mis conocimientos relevantes en el párrafo anterior. ¿Crees que el texto es adecuado para mí, o tendría más éxito con uno de los tres textos que mencioné en el primer párrafo?

Gracias por leer esta (larga) pregunta. Espero sus consejos.

Answer 1

Yo recomendaría absolutamente a Artin's Álgebra en su situación. Aparte de que el libro está excelentemente escrito, una de sus mayores ventajas es que desarrolla paralelamente el álgebra lineal y el álgebra abstracta. Muchas de las aplicaciones más interesantes de los grupos son a problemas geométricos, y el libro de Artin es estupendo para ello.

Muchos otros libros sobre álgebra abstracta, como Dummit y Foote, tratan mucho menos el álgebra lineal. La razón de esto es probablemente que esto se ajusta a la división de los cursos universitarios en los Estados Unidos entre el álgebra lineal, tomada por una amplia gama de estudiantes, y el álgebra abstracta, de interés para una audiencia más restringida. Esto no es sensato desde el punto de vista matemático.