Implicación y la Interpretación de Banach Tarski

Question

Como yo lo entiendo, la de Banach-Tarski paradoja dice una pelota en un espacio de 3 dimensiones puede ser descompuesta en un número finito de piezas y vuelto a montar en dos bolas cada uno de el mismo tamaño que el original. A pesar de ser llamada la paradoja, por supuesto que es un teorema.

Buscando en la prueba, parece que se basan en gran medida en el Axioma de Elección. Sin embargo, dado que las consecuencias de no aceptar el Axioma de Elección parece aún más raro, me pregunto si el más experimentado de los Matemáticos aquí encontrará la implicación de Banach-Tarski perfectamente aceptable Teorema, o si se demuestra que ZF con la Elección realidad es en última instancia patológico ? ( es decir, no sólo parecer un extraño desde una perspectiva que no es matemáticamente lo suficientemente maduro ?)

Answer 1

La razón por la Banach-Tarski paradoja parece paradójico es debido a los siguientes ingenuo argumento: seguramente el volumen de una pelota es igual a la suma del volumen de cualquier posible descomposición de la pelota en un número finito de piezas, que a su vez no es el mismo que el volumen de dos bolas. Más precisamente, seguramente el total de la medida debe permanecer invariante.

Y la razón por la Banach-Tarski paradoja es un teorema es que el intermedio de las piezas que utiliza están muy extraño: en particular, no tienen volumen. (Más precisamente, son que no se pueden medir.) Por lo que el ingenuo argumento se rompe completamente, pero ingenuos argumentos romper todo el tiempo en las matemáticas.

Una más enfocada versión de su pregunta podría ser: ¿cómo extraño o patológico debería considerar un no-medibles conjunto? Bueno, por supuesto que son extraños, pero no son extrañas al punto de que son una buena razón (en mi opinión) para rechazar el axioma de elección. Uno puede construir no medible establece el uso de la más débil de ultrafilter lema, que soy muy aficionado, así que me abrazo a ellos en caso de necesidad.

Edit: Usted también puede estar interesado en escuchar Terence Tao pensamientos; ha escrito acerca de Banach-Tarski varias veces y ha esclarecedor cosas que decir.

Answer 2

Parece que la gran mayoría de los matemáticos consideran de Banach-Tarski un precio aceptable a pagar por tener el Axioma de Elección. Sus consecuencias prácticas son al menos dos, uno general y otro más específico:

1. Desconfíe de su intuición acerca de los conjuntos que son tan raros que necesita el axioma de elección para la construcción de ellos. El consenso general parece ser que los de Banach-Tarski componentes se comportan no de forma intuitiva, pero no paradójicamente.

2. En la presencia de el Axioma de Elección que se ha de aceptar que no hay ningún buen comportamiento de la medida en todos los subconjuntos de a $\mathbb R^n$ (donde el "buen comportamiento" que significa algo así como ser invariantes bajo isometrías, al menos finitely aditivo, y la asignación de un valor distinto de cero finito medida a una bola de radio finito). Esto implica una gran cantidad de "asumir tal-y-tal es medible locales" en muchos teoremas, pero de nuevo esto es generalmente tratada como un precio aceptable a pagar por tener elección.

Podría decirse, incluso conduce a una más general y útil a la teoría de que el principal ejemplo de una medida que no está definido en el completo juego de poder. De lo contrario, el estándar de desarrollo de todo lo que acaba de asumir que todos los subconjuntos medibles, y entonces uno tendría problemas para aplicar la teoría a las medidas especiales que uno quería, por una razón u otra, a ser parcial.

Answer 3

Qiaochu la respuesta es genial, y refleja exactamente lo que un matemático debe sentir acerca de la Banach-Tarski teorema.

Me gustaría añadir otro punto de vista, como alguien que trabaja en su mayoría en un sin elección contexto, me aseguro de que la matemática tiene muchas sorpresas en el almacén para usted una vez que usted da para arriba la selección necesaria de Banach-Tarski.

Usted podría terminar con el extraño universo en el que no hay libre ultrafilters en $\mathbb N$; el número real podría ser una contables de la unión de conjuntos contables; o podría ser posible reducir los números reales en más de no-partes vacías de los elementos.

Siempre hay una "paradoja", que en realidad es sólo una contra-intuitiva del teorema, escondiéndose en los rincones oscuros del universo. Se dice, en el nivel filosófico, sólo una cosa:

Nuestra intuición es completamente desarrollados por la historia y los axiomas estamos acostumbrados a trabajar con. Una vez que esté completamente usado el axioma de elección no es ninguna sorpresa en el Banach-Tarski teorema, como no hay ninguna sorpresa en Gödel los teoremas de incompletitud o en el Cantor del teorema acerca de la uncountability de los números reales.

Estos son todos los teoremas que sacudió los fundamentos de las matemáticas y llevado a las personas a agitar sus cabezas con incredulidad, pero con el tiempo estos teoremas fueron aceptadas y hoy en día la gente no alboroto acerca de Banach-Tarski, porque es una de las primeras cosas que se presentan en un curso sobre teoría de la medida: no Se puede medir todo lo que en una traducción invariante en la forma y con los contables de la integridad.

El principal problema es que en ninguna lo suficientemente fuerte como teoría habrá resultados inesperados, que es la razón por la Banach-Tarski teorema - aunque muy sorprendente - no debe impedir que usted desde el axioma de elección, lo que hace que infinitary las cosas más fáciles de tratar.

Answer 4

El resultado apunta al hecho de que no tiene sentido tratar de aplicar una noción geométrica de la medición de volumen de todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$. Pero ¿por qué tendría que ser el caso, en primer lugar?

Podemos medir los volúmenes de conjuntos mediante la aproximación de ellos por los conjuntos que tienen un natural de la noción de volumen, como los distintos sindicatos de los cubos. Así que el uso de métodos matemáticos para extender la noción de volumen definido de objetos simples a los más complejos. Pero no hay ninguna razón por qué la noción debe aplicar arbitraria de conjuntos de puntos.

Y, de manera intuitiva, si existen conjuntos de puntos en algún lugar que no puede ser aproximada por los objetos con un natural de la noción de volumen, el axioma de elección nos ayuda a encontrarlos. Dado que "el conjunto de puntos" y "objeto geométrico" son, en general, bastante diferente, no sería de extrañar que lo podemos hacer.

Answer 5

Como algo de un lado: es importante recordar que de Banach--Tarski no es simplemente algún artefacto de la elección. Suponiendo elección, el BT paradoja tiene para algunas acciones del grupo (por ejemplo, $SO(3)$ actuando en $\mathbb R^3$), pero no para otros (por ejemplo, $SO(2)$ actuando en $\mathbb R^2$). De hecho, no es una característica intrínseca de grupo de la teoría de la propiedad que determina si o no el BT paradoja, a saber, de conveniencia.

El estudio de las acciones del grupo y su interacción con la teoría de la medida es toda una rama de las matemáticas; ver por ejemplo, los Temas en la órbita de la equivalencia, por Kechris y Miller. Hay mucho más en este tema que sólo el uso de la opción.