Supongamos que uno tiene un convexo, delimitada polytope P $\subset R^n$ y estrictamente convexa de la función $f$ definido en todas partes en $R^n$. $f$ tiene un único mínimo; y supongamos que este mínimo se produce en algún lugar estrictamente fuera de P, en un punto x $\in R^n$.
Vamos a definir dos puntos en el límite de P, que son en general diferentes.
El primer punto, N, es la proyección de x en P, es decir que N es un punto P del límite que minimiza la distancia (en cualquier norma, pero decir $l_2$) a x.
El segundo punto, M, es el punto P del límite que minimiza la función de $f$ cuando se limita a P.
Yo creo que N y M son siempre en la misma faceta de P. ("en una faceta" tengo que incluir el (los de dimensiones inferiores) "bordes" de la faceta.) Mi pregunta es: es esto cierto en general?
Aquí está una ilustración de el siguiente ejemplo concreto. Supongamos que estamos en $R^2$,$f(a,b) = a^2 + 4(b-4)^2$. Supongamos que P está dada por la cuatro de la mitad de los aviones de $a+b \le 7$, $2b-a \le 4$, $a \gt 0$, $b \gt 0$. Esto se parece a:
Aquí una foto de esta situación:
El mínimo de $f$ se produce en x = (0,4). En este caso, vemos que N y M son, de hecho, en la misma faceta de P. esta relación verdadera en general?
