Descomposición del polinomio en polinomios irreducibles

Question

Me estoy preparando para mi examen de álgebra. Tengo problema y no tengo ni idea de cómo solucionarlo.

% Polinomio dado $$x^4+4x^3+4x^2+1.$$ la tarea es encontrar la expansión del polinomio como un producto de polinomios irreducibles en $\mathbb{R}$.

Voy a ser feliz si me muestra la manera de cómo resolver estos problemas

Answer 1

Sugerencia: $$x^4+4x^3+4x^2+1=(x+1)^4-2(x+1)^2+2$ $ %#% $ de #% esto le permitirá obtener las raíces de la ecuación de $$(x+1)^4-2(x+1)^2+2=((x+1)^2-1)^2+1=((x+1)^2-1+i)((x+1)^2-1-i)$. Multiplicando los monomios con raíces conjugadas obtendrá los factores real cuadráticos.

Para ver por qué esto siempre funciona:

Es un hecho que si $x^4+4x^3+4x^2+1=0$ es un polinomio tal que $P$, entonces el $P(z)=0$.

Finalmente:

$P(\bar z)=0$$

Que es un polinomio cuadrático real.

Answer 2

Basta para mostrar que $f(x)=x^4+4x^3+4x^2+1$ no tiene ninguna factores lineares $\mathbb{Z}_3$: $f(0)=f(1)=1$ y $f(2)=2$, $f(x)$ tiene ninguna factores lineares. Luego debe factor de $f(x)$ a dos polinomios cuadráticos: $$f(x)=(ax^2+bx+c)(ux^2+vx+w)$$ We then have that $ au = 1 $. Multiplying the first polynomial by $u $ and the second by $ $, we may assume that $ un = u = 1 $. Equating the coefficients of the powers of $x$, tenemos $$\begin{eqnarray*} 4&=&v+b\\ 4&=&w+c+bv\\ 0&=&bw+cv\\ 1&=&cw \end{eqnarray *} $$ algunos álgebra muestra que $$ \begin{eqnarray*} b&=& 2+\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)}\\c&=& 1+\sqrt{2}+\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \\ v&=& 2-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)}\\ w&=& 1+\sqrt{2}-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \end{eqnarray *} $$

Por lo tanto, dejar que $\alpha=1+\sqrt{2}$, ver que $x^4+4x^3+4x^2+1$ factores a $$\left(x^2+\left(2+\sqrt{2\alpha}\right)x+\alpha+\sqrt{2\alpha}\right)\left(x^2+\left(2-\sqrt{2\alpha}\right)x+\alpha-\sqrt{2\alpha}\right).$ $