¿Qué es un ejemplo de $\mathscr O_{Spec R}(U)\neq S^{-1}R$ $S$ que consta de los elementos de $R$ no desaparición en $U$?

Question

He estado meditando en los fundamentos de la geometría algebraica, y en particular sobre cómo exactamente $X=\operatorname{Spec} R$ se refiere a su estructura y su gavilla $\mathscr O_X$.

En estas meditaciones, me he dado cuenta de que la única $\mathscr O_X(U)$ para abrir subconjuntos $X\setminus V(I)=U\subset X$ que me he topado han resultado ser $S^{-1}R$ donde $S=\{f\in R \ \colon \ V(f)\subset V(I)\}$, es decir, que siempre han sido la localización de $R$ en el conjunto de los elementos de $R$ que no se desvanecen en $U$. Es fácil ver que $S^{-1}R$ es el límite de $\mathscr O_X(X_s)=R_s$ (localizaciones de la $R$${1,s,s^2,\dots}$) de los $s$ que no se desvanecen en $U$.

Sin embargo, la definición real de la gavilla requiere que $\mathscr O_X(U)$ ser la inversa límite de $\mathscr O_X(X_f)=R_f$ $f$ que se desvanecen en el que cada punto del complemento de $U$ (es decir, para $f$ tal que $X_f\subset U$).

Evidentemente, el ex admite un único morfismos en el último, ya que el primero es un objeto inicial y el segundo un terminal de objeto. Tengo la fuerte sospecha de que las dos construcciones son diferentes en general (de lo contrario, ¿por qué nos tortura a los principiantes con la contra-intuitiva de límite inversa definición), pero he sido incapaz de encontrar un ejemplo en el que los dos se separan.

Answer 1

Considerar el Segre cono $S=Spec (A) $$A=\mathbb C[X,Y,Z,W]/(XW-YZ)=\mathbb C[x,y,z,w]$.
En otras palabras $S$ es la hipersuperficie dada por la ecuación $xw-yz=0$$\mathbb A ^4 _{\mathbb C}$.
Que hipersuperficie $S$ contiene el cerrado avión $P\subset \mathbb A ^4 _{\mathbb C}$ dadas por las ecuaciones $y=w=0$.
Llame a $U$ el abierto de complementar $U=S\setminus P$.
Entonces yo reclamo que $\mathcal O_S(U)$ no puede ser obtenido como un anillo de fracciones de $T^{-1}A$ del dominio $A$.

En efecto, la función $x/y$ sobre el subconjunto $D(y) \subset S$ definido por $y\neq 0$ y la función de $z/w$ sobre el subconjunto $D(w) \subset S$ definido por $w\neq 0$ pegamento junto a ceder una función de $f\in \mathcal O_S(U)$.
Que la función $f$ no puede ser escrito $g/h$, no importa cómo $g,h \in \mathcal O_S(U)$ ($h$ sin cero en $U$) son los elegidos.
(Es un ejercicio razonable en el complejo de polinomios en $X,Y,Z,W$ a mostrar esta imposibilidad)

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Como usuario 18119 muy juiciosamente comentarios, si $I\subset A$ es el conjunto de $\phi\in A$ invertible en a $U$, luego de $\mathcal O_S(U)= T^{-1}A$ deducimos $T\subset I$ y, a continuación,$\mathcal O_S(U)=T^{-1}A\subset I^{-1}A \subset I^{-1}\mathcal O_S(U)=O_S(U)$, de modo que $\mathcal O_S(U)=I^{-1}A$.
En otras palabras: si $\mathcal O_S(U)=T^{-1}A$,$\mathcal O_S(U)=I^{-1}A$.
[Ten en cuenta que no estoy diciendo que el original $T$ fue igual a $I$ !]

Answer 2

Deje $R$ ser un anillo booleano (cada elemento es idempotente). Es fácil ver que cada plano de localización $R \to S^{-1} R$ es surjective. Pero no todo el mapa de restricción $R = \mathcal{O}(\mathrm{Spec}(R)) \to \mathcal{O}(U)$ es surjective:

Deje $R$ ser el unitalization de la $\mathbb{F}_2$-álgebra $\mathbb{F}_2^{(\mathbb{N})}$. Tal vez considerado como el sub-anillo de $\mathbb{F}_2^\mathbb{N}$ generado por el estándar de la base de vectores $e_1,e_2,...$. El mapa de restricción a $U = \cup_i D(e_i)$ corresponde a la inclusión de $R \hookrightarrow \mathbb{F}_2^\mathbb{N}$. No es surjective (por ejemplo, $(1,0,1,0,1,...)$ no está en la imagen).

Por el camino, $\mathrm{Spec}(R)$ es el uno-punto-compactification de $U=\mathbb{N}$, dotado con la constante gavilla $\underline{\mathbb{F}_2}$.