Grupo fundamental de la contracción de la cuña de esferas.

Question

Que $X$ sea el subespacio de $\mathbb R^3$ que es la Unión de las esferas de radio $1/n$ y centrado en $(1/n,0,0)$. Entonces $X$ es simplemente conexa.

Había pensado para él de esta manera para unir las células $2$ a un solo punto, es decir, el origen, pero luego me di cuenta el espacio que voy a tener es una suma de cuña de esferas y no el espacio dado en la pregunta.

Por favor ayudenme a averiguar el grupo fundamental del espacio en cuestión.

No es un problema la tarea

Answer 1

Lamentablemente hay un error en esta solución. Es en la declaración de "A ver que $F$ es también continua al $t=1$, es suficiente para demostrar que para cualquier vecindad $U$ de los de origen $O$ en $X$, $f^{−1}(U)$ contiene un número finito de intervalos de $(a_i,b_i)$."

El problema es que si el homotopies son elegido como se describe anteriormente, pero de otra manera arbitraria, la continuidad puede fallar. Ejemplo: supongamos que el $(a_i,b_i)$ clúster en algún punto de $s_0$. Supongamos que el loop inicial es trivial. Supongamos que el homotopy de "reducción" del lazo pequeño en $[a_i,b_i]$ barre el ámbito $S_1$ antes de caer hacia abajo, a $O$. (Perverso, pero no se excluye por la descripción. N. B.: siempre la misma esfera.) A continuación, para $t$ arbitrariamente cercanos a 1 y los puntos de $s$ arbitrariamente cerca de $s_0$, $F(s,t)$ siempre, al menos, algunas de distancia fija (es decir 1/2) de $O$.

Para solucionar este problema, tenemos que ejercer cierto control sobre el homotopies. Si el lazo pequeño en $(a_i,b_i)$ no tiene el "polo opuesto" (el punto más alejado de $O$) en su área de distribución, a continuación, reducir el bucle por el deslizamiento a lo largo de los meridianos desde el polo opuesto a $O$. Esto crea una distancia disminución de la propiedad de estos homotopies. Si el polo opuesto está en el rango, entonces cualquier homotopy de trabajo.

Ahora vamos a utilizar la continuidad de la inicial del bucle. De ello se sigue, como en el anterior cartel del argumento, de que el $F(\cdot,t_k)$ es continua para $t_k=1-(1/k)$. También para $t_k$ lo suficientemente cerca de 1, $F(\cdot,t_k)$ está tan cerca como te gusta a $O$. Ahora tenemos una dicotomía para bucles sin embargo, para ser reducido. El apoyo del bucle es una "pequeña" de la esfera, o de lo contrario el polo opuesto, no está en el rango. De cualquier manera, el homotopies nos mantendrá cerca de $O$.

Answer 2

El único problema es demostrar que cualquier bucle $f:I\rightarrow X$ que pasa por el origen infinitamente muchas veces es nullhomotopic. Aquí está la idea:

Deje $X=\bigvee_n S_{1/n}^2$ $O$ ser el origen, entonces el subconjunto $E:=f^{-1}(X\backslash\{O\})$ debe ser abierta en $I=[0,1]$. Por lo tanto, $E$ puede ser escrito como la desunión de la unión de un número infinito de intervalos abiertos , es decir,$E=\bigcup_{i=1}^{\infty}(a_i,b_i)$. Entonces podemos definir una secuencia de homotopies $F_i:I\times [1-\frac{1}{i},1-\frac{1}{i+1}]\rightarrow X$, de tal manera que $F_i(\cdot,1-\frac{1}{i})=f_i$ $F_i(\cdot,1-\frac{1}{i+1})=f_{i+1}$ donde $f_i$ es el bucle que obtenga después de haber contraído la primera $i-1$ pequeños bucles $f((a_k,b_k))$$O$. Tenga en cuenta que $f_1=f$. Finalmente podemos construir un homotopy $F:I\times I\rightarrow X$ por encolado $F_i$ juntos, es decir, $F(\cdot,t)=F_i(\cdot,t)$ si $t\in[1-\frac{1}{i},1-\frac{1}{i+1}]$ $F(\cdot,t)=O$ si $t=1$. Pegando lema, $F$ es continua siempre que $t<1$. A ver que $F$ es también continua al $t=1$, es suficiente para demostrar que para cualquier vecindad $U$ de los de origen $O$ en $X$, $f^{-1}(U)$ contiene un número finito de intervalos de $(a_i,b_i)$. Esto es cierto debido a que todos los intervalos de $(a_i,b_i)$ formar una discontinuo abra la cubierta de $f^{-1}(X\backslash U)$, que es compacto en $I$.