Comentarios:
Después de algún interés inicial, parece que esta pregunta ha sido votado. Jyrki Lahtonen puede ser adecuado que el gasto de tiempo en problemas insolubles es inútil, pero, para un estudiante, ¿en qué momento queda claro que no tiene sentido?
Yo no había visto este particular integral antes y tampoco lo han hecho muchos otros aquí, estoy seguro. No es instructivo considerar al menos? Y si resulta que, de acuerdo a las personas que tienen experiencia con ella, que el polinomio es la mejor solución que tenemos, entonces, que se puede colocar como una respuesta definitiva a continuación, y aún más útil podría incluir algunos instructivos consejos sobre técnicas de integración en general.
Estoy sin palabras de por qué esto sería considerado una mala pregunta, como docente, yo personalmente no creo que sea. Aprendizaje de los alumnos en los diferentes métodos de integración necesario para desarrollar algunas instinto para saber lo que es posible con los métodos, por qué ciertas técnicas de trabajo en ciertas situaciones y no en otras. De qué se trata este de uno en particular? Al menos tiene solución. En qué momento de su progreso como un matemático debe de haber desarrollado la confianza de saber cuándo dejar de mirar en una dirección determinada?
Pregunta:
Considere la integral de la $\int u^2(1-u^2)^4du$.
Una forma que conozco de hacerlo consiste en una sustitución trigonométrica y, a continuación, utilizando una fórmula de recursión sobre las facultades de $\cos x$. No quiero que la solución porque ya sé acerca de.
Aparte de eso, es la fuerza bruta, es decir, acaba de ampliar el polinomio y la integración de cada uno de los poderes por separado, la única otra manera de hacer esto, o soy yo acabo de tener un bloqueo mental en algunas hermosa manera de solucionar esto? Necesito estar seguro de que no me estoy olvidando de algo.
(1) la fuerza Bruta: $u^2(1-u^2)^4 = u^2 - 4u^4 + 6u^6 - 4u^8 + u^{10}$. Que, después de todo, es realmente sólo un par de líneas.
(2) Integración por partes: Todas las ideas que he probado ninguno de los dos me llevó de regreso a donde empecé desde, requiere más trabajo que el método de la fuerza bruta, o llevado a trigonométricas sustitución que ha sido cubierto. Si hay un simple partes de la solución, por favor, vamos a verlo.
(3) la Sustitución de ejemplo:
\begin{align*} v^2 = 1 - u^2 \Rightarrow u\;du = -v\;dv\\ \int u^2(1-u^2)\;du = -\int \sqrt{1-v^2}\;v^4\;dv \\ \ldots \text{ aargh } \ldots \end{align*}
(4) Original equivalente trig integral: $\int \sin^2x\cos^9x\;dx$
