Derivado de la determinante de la matriz simétrica wrt un escalar

Question

Para un determinado cuadrada simétrica matriz invertible $\mathbf{X}$ y escalares $\alpha$ (de tal manera que las entradas de $\mathbf{X}$ dependen de la $\alpha$), me gustaría utilizar la siguiente expresión muy conocida por la derivada de la determinante wrt un escalar (por ejemplo, ver wikipedia):

$$ \frac{\partial}{\partial \alpha} \det(\mathbf{X}) = \det(\mathbf{X}) \operatorname{tr} \left( \mathbf{X}^{-1} \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \alpha} \right) $$

Sin embargo, me preocupa que esta expresión no se aplican cuando no existe ningún tipo de especial de "estructura" en la matriz (por ejemplo, un $n \times n$ simétrica matriz contiene menos de $n^2$ independiente de las entradas).

Pensemos por un momento en otra situación, donde la estructura de la materia: la diferenciación de la determinante respecto de la matriz de entradas (en lugar de un escalar). En primer lugar, vamos a $\mathbf{Y}$ ser un cuadrado invertible "no estructurados" de la matriz (es decir, todos los elementos son independientes). Es bien conocido (por ejemplo, véase La Matriz de libro de cocina de la sección 2.1.2, o la wikipedia) que, en este caso:

$$ \frac{\partial}{\partial \mathbf{Y}} \det(\mathbf{Y}) = \det(\mathbf{Y}) \, (\mathbf{Y}^{-1})^T $$

Ahora considere el $\mathbf{X}$ nuevo, un cuadrado simétrico de la matriz. En este caso, las entradas no son independientes (como se describe en El libro de cocina de la Matriz, a partir de la sección 2.8), por lo que tenemos en su lugar (véase la sección 2.8.2 para el simétrica caso):

$$ \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}} \det(\mathbf{X}) = \det(\mathbf{X}) \, (2 \mathbf{X}^{-1} - (\mathbf{X}^{-1} \circ \mathbf{I})) $$

Así, a la hora de diferenciar el determinante wrt las entradas de la matriz, la matriz de estructura claramente las cosas.

Aquí está mi pregunta: a la hora de diferenciar una matriz determinante wrt un escalar, que la matriz de estructura de la materia? Y si es así, ¿cuál es la expresión correcta para $\frac{\partial}{\partial \alpha} \det(\mathbf{X})$ para el caso específico donde $\mathbf{X}$ es simétrica?

Answer 1

Echemos un vistazo a lo que sucede cuando derivado de la determinante de una matriz invertible $A$ con respecto a sí mismo. Al parecer, el resultado es una matriz, decir $D$, luego tenemos $$D^q_p=\left(\frac{\partial\det A}{\partial A}\right)^q_p=\frac{\partial(\epsilon_{i_1\ldots i_n}a^{i_1}_1\cdots a^{i_n}_n)}{\partial a^p_q}$$ donde $\epsilon$ de Levi-Civita símbolo y Einstein se utiliza la notación. Si $A$ no tiene ninguna estructura especial que cada uno de $n^2$ componentes son vistos como independientes, se puede proceder a $$D^q_p=\epsilon_{i_1\ldots i_n}a_1^{i_1}\cdots\frac{\partial a^{i_p}_q}{\partial a^p_q}\cdots a_n^{i_n}$$ Sin embargo, cuando se $A=A^T$ es simétrica, cada producto tiene 2 términos que dependen de $a^p_q$, por lo tanto $$D^q_p=\epsilon_{i_1\ldots i_n}\left(a_1^{i_1}\cdots\frac{\partial a^{i_p}_p}{\partial a^p_q}\cdots a^{i_q}_q\cdots a_n^{i_n}+a_1^{i_1}\cdots a^{i_p}_p\cdots\frac{\partial a^{i_q}_q}{\partial a^p_q}\cdots a_n^{i_n}\right)$$ Esto conduce a diferentes formas de derivados. Sin embargo, ahora está claro que la derivada de una matriz invertible w.r.t un escalar no dependen de su estructura.