Yo soy el estudio de los sistemas dinámicos y tengo algunos problemas en la comprensión de la notación utilizada para las ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo, cuando he leído
$$\overset{..}{x}=F(x),$$
¿cómo debo interpretarlo? Es preguntando a encontrar una función $x$ (definida en un conjunto abierto) tal que $x''(t)=F(x(t))$ todos los $t$? Si es así, ¿por qué no escribir $x''=F\circ x$ o $\overset{..}x =F\circ x$?
Entonces veo:
Vamos a llamar a $y$ la velocidad, es decir, la función de $\overset.x$. Supongamos que existe una función de $V$ tal que $F=\dfrac{-dV}{dx}$. A continuación, la cantidad de $E(x,y)=\frac12y^2+V(x)$ es constante cuando se $t$ cambios.
Qué significa que la función de $t\mapsto E(x(t),y(t))=\frac12y(t)^2+V(x(t))$ es constante? ¿Qué $\frac{-dV}{dx}$ significa? Simplemente $V'$? En la definición de derivada de una función nunca he visto algo como "derivada con respecto a x" o "derivada con respecto a t". Mi conjetura es que cuando escriben $\frac{dV}{dx}$ que significa la derivada de la función que se asigna a cada punto a su potencial (en este caso, simplemente,$V'$); y cuando escriben $\frac{dV}{dt}$ que significa la derivada de la función que se asigna el tiempo para el potencial en ese tiempo (que en este caso es la derivada de otra función, la función de $V\circ x$. Así es $(V\circ x)'=(V'\circ x)\cdot x'$). Es correcto?
