Una condición de grupos abelianos relacionadas un automorphism

Question

Que $G$ ser un grupo. Si para cualquier $a, b\in G\backslash\{1\}$ allí existe un automorfismo $\sigma$ $G$ tal que $\sigma (a)=b$ $G$ es abeliano.

Yo no soy el mejor de la álgebra y tengo un problema con la prueba del hecho arriba aunque supongo que debe ser muy simple... Voy a estar agradecido por la sugerencia.

Answer 1

Cada elemento de G tiene el mismo orden (finito o infinito). G no tiene adecuada de la no-identidad característica subgrupos (es característicamente simple), por lo que teniendo en cuenta la deriva subgrupo de G es abelian o perfecto. Si G es finito, entonces debe ser un p-grupo. Desde un finito no-identidad p-grupo no es perfecto (máxima subgrupos son normales), G es un elemental abelian p-grupo.

En general, si G es abelian, debe ser un elemental abelian p-grupo (abelian y todos los elementos de la misma finito de orden), o debe ser una de torsión libre divisible grupo (un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$; elija f de modo que $f(nx) = x$, pero, a continuación,$n f(x) = f(nx) = x$, por lo que x es divisible).

Sin embargo, no se caracterizan por ser simples infinito p-grupos, y no sé que ellos no tienen transitiva automorphism grupos. Tres ejemplos importantes son McLain grupos (localmente finito, un montón de subnormals, triangular superior matrices sobre GF(p)), Sala de grupos (localmente finito, pocos subnormals, corona de los productos), y Tarski monstruos (2-genera simple grupos).

Como Steve menciona, en el torsiones caso, hay muchos que no abelian ejemplos debido a Higman (y Higman–Neumann–Neumann), ya que cada torsiones grupo incrusta en un torsiones grupo en el que el interior automorphism grupo actúa transitivamente sobre la no-identidad de los elementos.

Answer 2

Después de una prueba como KCd sugirió que $Z(G)$ no debe ser trivial, a continuación, la tesis de la siguiente manera: deje $G$ ser un grupo para cada una de las $a,b \in G \setminus\{1\}$ existe $\sigma \in \text{Aut}(G)$ tal que $\sigma(a)=b$. Tenemos que $Z(G)$, el centro del grupo $G$, es característico de los subgrupos de $G$, por lo que para cada una de las $a \in Z(G)$ debemos tener $\sigma(a) \in Z(G)$, pero para la hipótesis dada $a \in Z(G)\setminus \{1\}$, y para cada una de las $b \in G\setminus\{1\}$ debe haber un $\sigma \in \text{Aut}(G)$ tal que

$$b = \sigma(a) \in Z(G)$$

debido a que este tiene para cada uno de los $b \in G$ esto significa $G \subseteq Z(G)$. Por lo tanto $Z(G)=G$ $G$ debe ser abelian.

Editar:

Vamos a ver que $Z(G)$ no es trivial para $G$ finito: debido a $G$ es finito todos los elementos en $G \setminus \{1\}$ tienen el mismo orden $p$, $p$ debe ser una de las primeras, de otra manera dado $a \in G \setminus \{1\}$ el subgrupo $\langle a \rangle$ debe contener elemento, diferente de la identidad, de orden menor, a continuación,$p$; por lo tanto $G$ debe ser un $p$-grupo, y por ello no trivial centro.