Deje $X$ ser el intervalo de $[0,1]$ con medida de Lebesgue. Hay una función de $f\in L^p(X)$ todos los $p\in[1,\infty)$ que no es $\in L^\infty(X)$? Si es así, ¿cuál es un ejemplo?
Motivación: En un curso sobre teoría de la medida este otoño, he aprendido pruebas de que $L^p(X)\supset L^q(X)$ si $q>p$ y que si $f\in L^\infty(X)$,$\|f\|_\infty = \lim \limits_{p\to\infty} \|f\|_p$. Esto me llevó a preguntarme si $L^\infty(X) = \bigcap _p L^p(X)$. Un compañero de clase me dio un teóricos generales razón para creer lo contrario: $L^p(X)$ es un espacio reflexivo para$1 \lt p \lt \infty$, pero no por $p=1,\infty$; pero las intersecciones de reflexiva de espacios reflexivos. Esta lógica parece de sonido para mí; pero implica la contención $L^\infty(X) \subset \bigcap_p L^p(X)$ es estricta. Si es así, debe ser una función que es $L^p$ todos los $p$ pero no.e. delimitada. ¿Qué es?
Respuesta
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El logaritmo es un ejemplo.
A ver que $\log$ $L^p$ por cada $p>0$, es suficiente para ver que $|\log(t)|^p<t^{-1/2}$ $t$ suficientemente pequeño. Esto se deduce del hecho de que $\lim\limits_{t\searrow0}\;|\log(t)|t^{1/(2p)}=0$, que es una rápida aplicación de la regla de l'Hôpital.
El $L^p$ norma de $\log$ pasa a ser $\Gamma(p+1)^{1/p}$. Esto puede ser visto haciendo el cambio de variables $t=-\log(u)$ integral $\Gamma(x)=\int\limits_{0}^\infty t^{x-1}e^{-t}\:dt$. Así que por Stirling aproximación, $\|\log\|_p$ está cerca de a $p/e$ al $p$ es grande.
