¿Por qué tantos libros de texto han técnica tanto detalle y tan poco la iluminación?

Question

Yo creo/espero que esto está bien para MO.

A menudo me encuentro que los libros de texto proporcionan muy poco en el camino de la motivación o el contexto. Como un simple ejemplo, considerar la teoría de grupos. Cada libro que he visto que habla acerca de los grupos (incluyendo algunos muy básicos de pregrado nivel de los libros), que se presenta como resumen, estructuras algebraicas (mientras que la prestación de algunos ejemplos, por supuesto), a continuación, se pasa un par de docenas de páginas de demostrar teoremas, y luego tal vez en alguna otra sección del libro trata de algo de la Teoría de Galois. Esto realmente me molesta. Personalmente creo que es muy difícil aprender un tema sin motivación, en parte porque me aburre a muerte. Y, por supuesto, es históricamente hacia atrás; los grupos que surgieron como la gente trató de resolver los problemas a los que se fueron de forma independiente interesado en. No sentarse y probar un montón de teoremas acerca de los grupos y, a continuación, darse cuenta de que los grupos que tenían las aplicaciones. También es frustrante porque tengo que ser totalmente pasivo; si no sé qué son los grupos o, ¿por qué nadie se preocupa por ellos, todo lo que puedo hacer es sentarse y leer el libro lanza teoremas en mí.

Esto es cierto no sólo con barrido de la imagen grande problemas, pero con las cosas más pequeñas también. Recuerdo realmente luchando para averiguar por qué se supone que importa mucho que los subgrupos fueron cerradas en virtud de la conjugación antes de que finalmente darse cuenta de que el verdadero problema era que los subgrupos pueden ser núcleos de homomorphisms, y la otra cosa es simplemente una forma útil para su caracterización. Así que ¿por qué no definir subgrupos normales de esa manera, o por lo menos echar en una frase explicando que eso es lo que realmente estamos después? Pero nadie lo hace.

He escuchado a todos, desde los estudiantes de primer año a los Campos de la Medalla de beneficiarios se quejan de esto, así que sé que no estoy sola. Y sin embargo, estos tipos de libros de texto parecen ser la norma.

Así que lo que quiero saber es:

¿Por qué los autores a escribir libros como este?

Y:

¿Cómo manejar esta situación?

¿Usted acaba de lucha a través de? Conseguir un libro distinto? Hablar con la gente? (Hablando con la gente no es realmente una opción para mí hasta el Otoño...) Algunas personas parecen legítimamente a ser capaz de absorber las matemáticas bastante bien, sin contexto. Cómo?

Answer 1

Por ahora el consejo que les doy a los estudiantes en los cursos de matemáticas, ya que son las matemáticas majors o no, es la siguiente:

a) El objetivo es aprender a hacer matemáticas, por no "saber".

b) Nadie ha aprendido mucho acerca de hacer algo a partir de cualquiera de conferencias o libros de texto. El estándar de ejemplos siempre me dan son el baloncesto y la carpintería. ¿Por qué las matemáticas diferentes?

c) de Conferencias y presentaciones de libros de texto servir muy importante propósito: mostrar lo que usted necesita para aprender. De ellos a aprender lo que necesitan aprender.

d) Basado en mi propia experiencia como estudiante y profesor, he llegado a la conclusión de que la mejor manera de aprender es a través de "guiada lucha". Usted tiene que hacer el trabajo usted mismo, pero usted necesita a alguien allí para ayudar a usted a través de los obstáculos que usted no puede conseguir alrededor a pesar de un montón de esfuerzo o con algunos conocimientos críticos (generalmente la derecha perspectiva, pero a veces un truco) que se están perdiendo. Sin el consentimiento previo y esfuerzo por parte del alumno, de los conocimientos suministrados por un maestro tiene mucho menos impacto.

Un sustituto de un maestro que es un grupo de trabajo de los estudiantes que son todos los que luchan por el mismo material. Cuando yo era un estudiante de posgrado, tuvimos un maravilloso trabajo de seminario en las mañanas de domingo con bagels y queso crema, donde he aprendido mucho acerca de la geometría diferencial y la Mentira grupos con mis compañeros de clase.

AÑADIDO: Entonces, ¿cómo puedes aprender de un libro? No puedo hablar por otros, pero nunca he sido capaz de leer un libro de matemáticas hacia delante. Yo siempre leer al revés. Yo siempre trato de encontrar una conclusión (un fresco de la definición o teorema) que realmente quieren entender. Luego me pongo a trabajar hacia atrás e intentar leer el mínimo posible entender la conclusión deseada. También, supongo que tiene trastorno de déficit de atención, porque yo rara vez leen directamente a través de toda una prueba o definición. Yo intente leer el mínimo posible que suficiente para darme la idea de lo que está pasando y, a continuación, trato de llenar los detalles del mismo. Prefiero dedicar mi tiempo a escribir mi propia definición o prueba y haciendo mis propios cálculos de la lectura de lo que alguien escribió. El honesto y vergonzoso la verdad es que me quedo dormido cuando leí matemáticas papeles y libros. Lo que sucede muchas veces es que como estoy tratando de leer de alguien más prueba me pregunto, "¿por Qué están haciendo esto de una manera tan complicada? ¿Por qué no acaba de....?" Yo entonces deja de leer y tratar de hacerlo de la manera más fácil. Ocasionalmente, puedo realmente tener éxito. Más a menudo, me a desarrollar una mayor apreciación de los obstáculos y estar más motivados para leer más.

¿CUÁL ES EL PUNTO DE TODO ESTO? No creo que la solución es cambiar la forma de libros de matemáticas se escriben. Yo en realidad prefiero a ser breves y al punto. Estoy totalmente de acuerdo que los estudiantes deben saber más acerca de los antecedentes y la motivación de lo que están aprendiendo. Me molesta que la matemática a los estudiantes a aprender acerca de cálculo sin la comprensión de su verdadero propósito en la vida o que de matemáticas de los estudiantes de postgrado de aprender geometría simpléctica sin saber nada acerca de Hamiltoniana de la mecánica. Pero no es claro para mí que es el trabajo de un solo libro de texto para proporcionar todo este contexto de un tema determinado. Me hacen pensar que el promedio de su libro de matemáticas intenta abarcar demasiadas cosas diferentes. Creo que cada libro de matemáticas debería ser relativamente corto y se enfocan en una forma estricta y claramente definido de la historia. Yo creo que si haces eso, será más fácil para los estudiantes a leer más libros de matemáticas.

Answer 2

Aquí están algunas palabras por Gromov que podría ser relevante.

Este común y lamentable hecho de la falta de una adecuada presentación de las ideas y motivaciones de casi cualquier teoría matemática es, probablemente, debido a la naturaleza binaria de matemática percepción: o no tienen la menor idea de una idea o de una vez se ha entendido, esta misma idea parece tan vergonzosamente evidente que se sienten reacios a decirlo en voz alta; por otra parte, una vez que tu mente cambia de el estado de la oscuridad a la luz, toda la memoria de la oscuridad estado se borra y se hace imposible concebir la existencia de otra mente para que la idea parece no evidentes.

Fuente: M. Berger, el Encuentro con un aparejador. II, Avisos de Amer. De matemáticas. Soc. 47 (2000), no. 3, 326--340.

Answer 3

Estoy totalmente de acuerdo en que esta es una pregunta que vale la pena preguntar. Sólo recientemente he llegado a darse cuenta de que todas las cosas abstractas que he ido aprendiendo en los últimos años, si bien es interesante por derecho propio, tiene aplicaciones concretas en la física así como en otras ramas de las matemáticas, de los cuales ninguno fue nunca me mencionó en un curso de álgebra abstracta. Por ejemplo, mi entendimiento es que el origen del término "torsión" para referirse a los elementos finito de orden en el grupo de teoría proviene de la topología, donde torsión en la integral de homología de una superficie compacta, le dice que si es orientable o no (por lo tanto, si, cuando se construye mediante la identificación de las aristas de un polígono, los bordes deben ser trenzados de encajar o no). No es esta una historia maravillosa? ¿Por qué no obtener dicho hasta mucho más tarde?

Para lo que vale, voy a resolver este problema mediante la obtención de un libro distinto. Por ejemplo, cuando yo quería aprender un poco de álgebra conmutativa, comencé la lectura de Atiyah-Macdonald. Pero a pesar de que A-M es una buena y cuidadosa de la referencia en su propio derecho, sentía que no estaba recibiendo suficiente intuición geométrica. Por lo que he encontrado primera Eisenbud, y, a continuación, Reid, ambos de los cuales son grandes discutir sobre el geométrica lado de la historia, incluso si ellos no son necesariamente tan minuciosa como Una-M.

Como para la primera pregunta, yo siempre he querido que la culpa de esta tendencia en Bourbaki, pero tal vez el origen de este estilo proviene de un grupo de personas alrededor de Hilbert, Noether, Artin, etc. Permítanme citar el final de Reid, donde se discute esta tendencia:

El resumen axiomático que los métodos del álgebra simple y limpio y potente, y dar esencialmente para nada los resultados que antes sólo podía ser obtenida por cálculos complicados. La idea de que se puede tirar todas las cosas viejas que componen el grueso de la universidad la enseñanza de matemáticas y reemplazarlo con el más moderno material que previamente había sido considerado demasiado avanzada tiene un evidente atractivo. El nuevo programa de estudios en el álgebra (y otros temas) se estableció rápidamente como la nueva ortodoxia, y algebraists pronto estuvieron comprometidos con el enfoque abstracto.

Los problemas eran lentos a emerger. Puedo hablar de lo que yo veo como dos interrelacionados inconvenientes: el divorcio de álgebra del resto de la matemáticas del mundo, y la falta de adecuación de la puramente abstracto enfoque en la enseñanza de un general de estudiantes de pregrado de la audiencia. El primero de ellos es puramente una cuestión de opinión considero que es lamentable y poco saludables que el álgebra seminario se parece formar un gueto con su propio lenguaje interno, actitudes, criterios de éxito y los mecanismos para la reproducción, y no ve ningún interés en lo que el resto del mundo está haciendo.

Para leer el resto de Reid, el comentario de que usted tendrá que conseguir el libro, que recomiendo encarecidamente hacer de todos modos.

Answer 4

Esto es una consecuencia de los siguientes hechos:

Uno simplemente no puede comunicar lo que uno entiende, pero sólo puede comunicar lo que uno sabe.

Esto no significa que es imposible proporcionar la motivación y/o contexto. Pero, en última instancia, el hecho de patadas en el.

Answer 5

Yo también sufro de este problema, los he utilizado para aprender mejor de los libros, sino en la escuela de posgrado, estoy teniendo verdaderos problemas para encontrar cualquier libro que yo pueda aprender de en algunas materias. Hay un par de razones para este triste estado de cosas que vienen a mi mente. Voy a enumerar primero y ampliar en ellos a continuación.

1. Proporcionar la iluminación también es muy, muy difícil, y requiere una relación muy íntima con un sujeto.

2. Diferentes matemáticos necesidad muy diferentes motivaciones para el mismo tema.

3. Matemáticas de las necesidades de la edad antes de que pueda ser presentado.

4. La buena escritura no es valorado lo suficiente en la comunidad matemática.

El primero de estos es fiel a un fuerte grado que me sorprende. Incluso para bien establecido de los sujetos, como la licenciatura de matemáticas, donde hay un millón de matemáticos que no conocen el tema muy bien, me parece que todos los realmente buenos libros son escritos por los verdaderos titanes del campo -- como Milnor, Serre, Kolmogorov, etc. Ellos entienden la estructura y orden lógico del sujeto tan bien que puede ser presentada en una forma que básicamente se motiva a sí mismo, básicamente, se puede explicar de matemáticas de la forma en que lo había descubierto, y es hermoso. Cada siguiente teorema que leer es importante, obviamente, y si no es así entonces la prueba de la motiva. El mayor nivel de objeto, menor será el número de personas que son tan íntimo con él que se puede hacer esto. Es interesante ver cómo todos los mejores libros que conozco no tienen explícitamente los párrafos proporcionar la motivación - que no los necesitan. (Por supuesto hay excepciones, algunos de los increíbles matemáticos son terribles escritores, y hay gente con excepcional capacidad de escritura, pero el punto está).

En cuanto al segundo punto, diferentes de la gente quiere cosas completamente diferentes para la motivación. Las preguntas que aparecen en nuestra cabeza cuando leemos los teoremas, la manera en que nos gusta pensar, el tipo de ideas que aceptamos como interesante, importante, etc., es diferente para todos nosotros. Por esta razón, cuando las personas tratan de describir explícitamente en la motivación detrás de la asignatura que casi siempre falla para satisfacer la mayoría de los lectores. Aquí, estoy pensando en libros como Hatcher, Gullemin & Polluck, Spivak, etc., donde algunas personas encuentran que, finalmente, encontró el libro que explica toda la motivación a la perfección, y los demás se sorprenden a muchos párrafos de texto que diluir las matemáticas y hacer el descubrimiento de los resultados/pruebas quieren más y lectura más lenta. Al mismo tiempo, la cantidad de esfuerzo que cada uno de estos autores debe haber gastado en la organización de su libro parece absolutamente inmensa. Por esta razón, a menos de 50 libros escritos sobre un tema, las posibilidades de que usted va a encontrar un libro que parece muy motivados para usted son bajos.

La tercera razón es simple: se necesita tiempo para que un nuevo sujeto para dejar de ser feo, para que la gente de hierro todos los defectos, y de averiguar algo aceptado de buena manera de presentarlo.

Por último, me parece que la buena escritura, especialmente expositiva de la escritura, no es especialmente valorado en la comunidad, y se valora menos ahora que antes. Inventar nuevos resultados parece ser el más respetable para un matemático, la enseñanza es la segunda mejor, y que la escritura tiene el tercer lugar. Gente como Hatcher & co. parece ser poco común, y no sé de muchos modernos titanes de las matemáticas que escribir todos los libros en todos, especialmente en un nivel más elemental de sus investigaciones en curso.

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Entonces, ¿qué hacemos? Creo que lo que algori dijo en su respuesta es la única manera de ir.