Multicelular de $\sum_{i=1}^{n^2 - 1} \frac{i^2}{[\frac{n^3}{3}]^2}$

Question

Necesito alguna manera de averiguar qué sucede con la siguiente suma:

$$\sum_{i=1}^{n^2 - 1} \frac{i^2}{[\frac{n^3}{3}]^2}$$

al $n \rightarrow \infty$.

Debe ser cero? Debe ser una constante?

Si trato y supongo que la suma de los cuadrados de $1$ $n$no es más que $n^3%$, de ello se sigue que la suma de los cuadrados de $1$ $n^2 - 1$no es más que $n^6$ (estoy bien con eso?), pero que me da la misma orden asintótico en el numerador es el mismo como en el denominador.

Así que estoy en la duda de si esta es la mejor cota superior, tal vez es realmente menos de $n^6$, pero no estoy seguro.

Answer 1

El uso de la fórmula $$ \sum_{i=1}^{N} i^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}, $$ su suma puede ser escrito como $$ \frac{1}{[\frac{n^3}{3}]^2} \sum_{i=1}^{n^2-1} i^2 = \frac{1}{[\frac{n^3}{3}]^2} \cdot \frac{(n^2-1)n^2(2n^2-1)}{6}. $$ No está claro si el denominador significa $\frac{n^3}{3}$ o $\lfloor \frac{n^3}{3} \rfloor$ (estas son las posibilidades que de inmediato vienen a mi mente). En cualquiera de los casos¹, para un gran $n$, el límite de la función anterior es el mismo que el límite de $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n^3} \right)^2 \cdot \frac{(n^2-1)n^2(2n^2-1)}{6}. $$ Supongo que saben cómo evaluar este límite.

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¹EDIT: Aquí está la prueba de la $\lfloor \frac{n^3}{3} \rfloor$ de los casos. Nuestra pretensión es, en esencia, que como $x \to \infty$, la cantidad de $\frac{\lfloor x \rfloor}{x}$ enfoques $1$. Para ver esto, observe que $$ \frac{x - 1}{x} \leq \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \leq 1 $$ y aplicar la presión (sandwich) teorema.