¿Cómo convertir fracciones arbitrarias en fracciones egipcias arbitrarias?

Question

Estoy leyendo el libro de Stillwell Números y geometría . Hay un ejercicio sobre fracciones egipcias que es el siguiente:

He intentado hacerlo de la siguiente manera - Expresando una fracción arbitraria $\frac{n}{m}$ como la suma de dos fracciones egipcias aribitrias:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{m}$$

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{n}{m}=0$$

$$\frac{bm+am-abn}{abm}=0$$

Entonces, resolviendo para $a$ rendimientos:

$$a=\frac{b m}{b n-m}$$

Y luego expresarlo como una función:

$$f(b)= \frac{b m}{b n-m}$$

He probado con $\frac{n}{m}=\frac{3}{4}$ en Mathematica y todas las sumas de fracciones unitarias que he obtenido son iguales a $\frac{3}{4}$ . ¿Es esto correcto? Me temo que hay algo que no funciona y no lo veo.

Answer 1

He aquí un método sistemático para ver si hay formas de expresar una fracción como suma de dos fracciones egipcias:

$$\begin{align}\frac{4}{5}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n} &\Leftrightarrow 4mn=5m+5n \\ &\Leftrightarrow 5m-4mn+5n=0 \\ &\Leftrightarrow \left(2m-\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}-2n\right)=-\frac{25}{4}\\ &\Leftrightarrow (4m-5)(5-4n)=-25\end{align}$$

Observe que $m,n$ son números enteros, por lo que $(4m-5),(5-4n)$ también son enteros. Por lo tanto, esos tienen que ser divisores de $25$ y hay un número finito de divisores de $25$ , lo que le permite probar todas las combinaciones posibles.

Puedes usar un método similar para tres fracciones (si no es posible una representación usando dos fracciones), pero como ya se ha señalado en los comentarios, es mejor probar algunas fracciones pequeñas hasta conseguir lo que quieres.

Answer 2

Como he dicho una decisión para 3 mandatos allí. Conjetura de Erdös-Straus /erdös-straus-conjecture/831870#831870

En cuanto a las respuestas de dos términos, la decisión no siempre existe.

Para la ecuación: $$\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{b}{A}$$

Se puede escribir una solución sencilla si el número de los factores de descomposición es el siguiente: $$A=(k-t)(k+t)$$
entonces: $$X=\frac{2k(k+t)}{b}$$ $$Y=\frac{2k(k-t)}{b}$$

o: $$X=\frac{2t(k-t)}{b}$$ $$Y=\frac{-2t(k+t)}{b}$$

Primero decida así $b=1$ y luego miro qué otros valores tienen soluciones.