Solución de la ecuación diferencial con Delta de Dirac

Question

¿Es posible resolver una ecuación diferencial de la siguiente forma?

$\partial_x^2y + \delta(x) \partial_x y = 0$

donde $\delta(x)$ es la función delta de dirac. Necesito la solución para condiciones de contorno periódicas de -1 a 1, pero estaré bien si me diriges para cualquier tipo de condiciones límite..

Me he dado cuenta de que puedo resolver esto para algunos tipos de condiciones de contorno. Lo que realmente me interesaría es cómo hacer esto para las condiciones de contorno periódicas...

Técnicamente, si planteo el problema dividiendo las regiones $x<0$ y $x>0$ y resolver en cada parte por separado, puedo resolverlo y obtener ecuaciones lineales en ambas regiones. Esto me dará $4$ variables. La periodicidad, y la periodicidad de la derivada me darán 2 ecuaciones. La continuidad en $x=0$ me dará una más. ¿Cómo relaciono la derivada alrededor de la $x=0$ ¿Interfaz?

Un poco de contexto: Si no hubiera función delta, sino digamos alguna aproximación gaussiana, sería de esperar que pudiera resolverlo, pero no veo por qué no puedo obtener la información de la derivada en torno a $x=0$ cuando pongo una función delta de dirac. Mi problema real es razonablemente más complicado, pero este es el ejemplo sencillo más rápido al que pude reducir mi problema. Si trato de integrar en una región épsilon alrededor de $0$ entonces termino con una expresión en $y^\prime(0)$ que no está definido.

Si sirve de ayuda, en realidad estoy interesado en un problema físico, por lo que esta función delta es sólo una aproximación, pero soy incapaz de tomar cualquier función en su lugar cuyo límite pueda hacer tender a una función delta..

Cualquier ayuda u orientación será muy apreciada.

EDIT: Supongo que también debería aclarar un poco mi problema real. En este caso simplista puedo simplificar la ecuación diferencial mediante la sustitución de $z=y^\prime$ Sin embargo, no puedo hacer eso en mi ecuación original. Básicamente estoy interesado en alguna técnica por la cual pueda obtener la información del cambio de la derivada de la función alrededor de la función delta. Un ejemplo mejor podría ser $\partial_x^2y + \delta(x) \partial_x y +y= 0$

Answer 1

Set $z=\partial_x y$ . Entonces $z=z(x)$ satisface la ecuación $$ \partial_x z+\delta(x)\,z=0, $$ con solución $$ z(x)=z(0)\,\mathrm{e}^{-\int_0^x\delta(\xi)\,d\xi}. $$ Por lo tanto, para obtener $y=y(x)$ debe integrar $z$ una vez.

Answer 2

Podemos reducir a una ecuación de primer orden: $$ e^{ix}(i\partial_x)e^{-2ix}(-i\partial_x)e^{ix} y=y'(0)\delta. $$ Ahora, como la RHS está apoyada en el origen, obtenemos $$ \partial_x [e^{-2ix}(-i\partial_x)e^{ix} y]=-iy'(0)\delta, $$ o $$ \partial_x [e^{-2ix}(-i\partial_x)e^{ix} y+iy'(0) H]=0, $$ donde $H$ es la función de paso del lado pesado. De ello se desprende que $$ e^{-2ix}(-i\partial_x)e^{ix} y+iy'(0) H=c $$ para alguna constante $c\in\mathbb C$ . Así, $$ \partial_x e^{ix}y(x)=ie^{2ix}(c-iy'(0)H(x)). $$

El problema, entonces, es que esta ecuación implica que $y'$ tiene una singularidad de tipo función escalonada en el origen, donde salta una cantidad $y'(0)$ . Pero $y'(0)$ no está bien definida entonces, ¡y por tanto tampoco lo está nuestra ecuación de partida! Esto se debe al término $y'\delta$ . Si espera $y'$ para no ser continua en $0$ no tiene sentido multiplicar la distribución delta por $y'$ ya que $$ (y'\delta)(g)=\delta(g y')=y'(0)g(0). $$ En su lugar, formulemos una ecuación diferente, $$ y''+y=-C_y\delta $$ para algunos $C_y\in\mathbb C$ independiente de $y'(0)$ Por ejemplo $C_y=(y'(0+)+y'(0-))/2$ . Para una función continua $y$ , $C_y=y'(0)$ pero en su caso $C_y$ está bien definida aunque $y$ no se supone continua. Otras opciones serían también posibles candidatos.