¿Qué es la inversión y cómo actúa sobre una figura inscrita en un círculo?

Question

Tratando de entender las inversiones. Entiendo que toma las cosas de adentro hacia afuera, de tal manera que

$\text{distance from some point inside circle} + \text{ distance to new point}=r^2$

Dónde $r$ es el radio del círculo de inversión.

¿Cómo quedaría esto con una figura y no sólo con una línea? ¿Por ejemplo un triángulo inscrito en un círculo? Sé que los ángulos deben conservarse.

Answer 1

Sea $O$ sea el centro del círculo, $P$ nuestro punto "dentro" y $Q$ el punto al que está asignado. A continuación, $(OP)(OQ)=r^2$ . (Tu expresión en términos de sumas no es del todo correcta).

En cuanto a tu pregunta sobre el triángulo, en general las rectas se toman a los círculos, salvo que las rectas que pasan por el origen se toman a sí mismas. Por tanto, si las prolongaciones de las rectas que forman tu triángulo no pasan por el origen, entonces los lados del triángulo se enviarán a arcos de circunferencia. Estos arcos formarán una forma vagamente triangular, pero con arcos circulares en lugar de líneas rectas. Sin embargo, estos arcos se encuentran en ángulos que coinciden con los ángulos originales del triángulo.

Answer 2

Sea $R > 0$ sea un número real, y sea $C = C_{R}$ denotan el círculo de radio $R$ centrado en el origen. Inversión en $C$ se expresa en coordenadas polares $(r, \theta)$ por $$ (r, \theta) \mapsto (R^{2}/r, \theta). $$ El efecto geométrico de la inversión en $C$ se puede explorar agradablemente observando el gráfico polar $r = f(\theta)$ que corresponde al gráfico polar $r = R^{2}/f(\theta)$ .

Rotar y luego invertir es lo mismo que invertir y luego rotar, así que basta con considerar una gráfica polar en alguna "posición angular estándar".

En los siguientes ejemplos, $c$ denota un número real positivo arbitrario.

• La línea $x = c$ tiene ecuación polar $r\cos\theta = c$ o $r = c\sec\theta$ . La imagen invertida es el gráfico polar $r = (R^{2}/c)\cos\theta$ o $$ x^{2} + y^{2} = r^{2} = (R^{2}/c)r\cos\theta = (R^{2}/c)x, $$ que como es bien sabido (y fácil de demostrar) es un círculo de radio $R^{2}/(2c)$ que pasa por el origen, con centro en la semirrecta $\theta = 0$ . (Para invertir una línea arbitraria $ax + by = c$ con $(a, b) \neq (0, 0)$ se puede imaginar la rotación del plano en un ángulo $\phi$ para hacer la línea vertical, invirtiendo, luego "des-rotando" por ángulo $-\phi$ . Por tanto, las siguientes imágenes bastan (en principio) para invertir un polígono plano arbitrario que no pase por el origen).

• Si $r^{2} = 2c^{2}\cos(2\theta)$ es un lemniscata de Bernoulli la curva "figura-8" con ecuación cartesiana $$ (x^{2} + y^{2})^{2} = r^{4} = 2c^{2} r^{2}\cos(2\theta) = 2c^{2}(x^{2} - y^{2}), $$ la imagen bajo inversión es la hipérbola cuadrada con ecuación polar $(R^{2}/r)^{2} = 2c^{2} \cos(2\theta)$ es decir, $$ (R^{2}/\sqrt{2}c)^{2} = r^{2} \cos(2\theta) = x^{2} - y^{2}. $$ Las tangentes a la lemniscata en el origen corresponden a las asíntotas de la hipérbola; aquí, a las rectas $y = \pm x$ . (Una forma elegante de decir esto es: En la esfera de Riemann, una hipérbola parece una figura 8, con el punto de cruce en el infinito).