Sé que este es un viejo Q, pero voy a publicar otra respuesta, de todos modos, espero que alguien encuentra este útil.
Fresco Qs. De todos modos, para el punto 1), creo que no existe "la", como en una sola, axiomatization. Usted menciona los axiomas de Hilbert, que es uno de esos axiomatization, y probablemente el más cercano en el "espíritu" de Euclides. Tarski son los axiomas de la otra, y tienen la interesante propiedad de que todos ellos se pueden hacer en la lógica de primer orden (es decir, sin la teoría de conjuntos), pero son mucho más abstracto – por ejemplo, ni siquiera tenemos un concepto de "línea" como un objeto, todo lo que se hace en términos de puntos. Hilbert del sistema le da puntos, rectas y planos como los bloques de construcción básicos de la geometría. Pero ambos son igual de buenos. También hay Birkhoff de axiomas, que se acercan más a la idea de "hacer de todo con las coordenadas" en la que explícitamente introducir la noción de los números reales en la geometría (mientras que los dos primeros, simplemente, tienen "la continuidad de los axiomas" que, entre otras cosas, asegurarse de que la geometría tiene la misma cantidad de puntos en una línea, ya que hay números reales).
También es cierto que en las modernas matemáticas, el "espacio Euclidiano" se define como $\mathbb{R}^n$, pero esto no es generalmente considerado como un enfoque "axiomático", por lo que no se ajusta a tu pregunta. Más bien, que es la "analítica". En este enfoque, los puntos se definen como tuplas ordenadas de reales, las líneas son conjuntos de tuplas tales satisfacción de las relaciones, y los triángulos son, a continuación, sólo el total de la colección de puntos en las líneas entre los 3 puntos que definen el triángulo. En la "axiomática" o "sintético" enfoque, los puntos y las líneas son considerados como conceptos indefinidos – que no tienen ninguna definición matemática formal, sino que especificar su comportamiento por los axiomas. Euclides no acababa de llegar a este punto (pero claro, esto era antiguo matemáticas que estamos hablando, por lo que las normas y lo que no eran otra) – trató de "definir", como diciendo: "un punto es aquello que no tiene parte", "una línea es breadthless longitud", etc. que no son ellos mismos matemáticamente útil sólo intuitivamente útil – "definiciones". Así que en la moderna axiomatizations, al menos uno de estos conceptos es tomado como primitivo (en los axiomas de Hilbert, como se ha mencionado, los puntos y las líneas son primitivos, en Tarski, sólo hay puntos, y de hecho, desde la teoría de Tarski no implican conjuntos, entonces uno no puede definir una línea por un conjunto de puntos!), sin definición matemática.
El punto 2) es también muy interesante. Hay, de hecho, muchos de los problemas. Uno de esos conjuntos de problemas puede ser visto por la primera proposición de los Elementos. Esta es la construcción de un triángulo equilátero sobre un segmento. Euclides dice, se pueden construir dos círculos, centrado en cada punto del segmento, de un radio igual al segmento dado. Entonces el punto de intersección de los círculos, además de los dos puntos en los extremos del segmento, definir el triángulo, y es equilátero. El problema con su construcción es que no hay suficientes axiomas para justificar todo. Que el segmento de línea y de los círculos de la existencia es, por supuesto, comprobable, pero se mete en problemas cuando se refiere a los puntos de intersección. No hay postulados de Euclides los axiomas de que se ocupan de las intersecciones, excepto por el postulado paralelo! Este es un horrible omisión de su parte – sin duda, la que yo diría que dejaría una brecha lo suficientemente grande como para conducir un camión a través de", ya que desde hace injustificada esencialmente todo su compás y la regla construcciones (al menos, en cualquier tiempo que él necesita para tomar una intersección de líneas y círculos, él no puede!). Otro problema con la prueba, y este se señaló, en todo el camino de vuelta en la antigua Grecia por Zenón de Sidón (no el mismo Zenón de Zenón de las Paradojas de la fama – que fue Zenón de Elea), es que no hay manera de saber que cuando generamos las líneas del segmento de consejos para el círculo punto de intersección, que incluso forman un triángulo equilátero y no cumple "antes de tiempo". Lo que hubiera sido necesario, habría sido un postulado de la singularidad de una línea recta entre dos puntos. Los axiomas de Hilbert frente a estos desafíos: da un axioma que dice que la línea recta entre dos puntos está determinada únicamente por dos puntos dados. Él también da a los "axiomas de continuidad", que garantiza que los círculos y las líneas se cruzan (y su continuidad axiomas son aún más fuertes – que garantiza la existencia de todos los números reales en el plano, cuando sólo se necesita el "surd números" como se les llama a obtener el círculo de las intersecciones de la derecha.).
