¿Hay cualquier otra constante que satisface el fórmula de Euler?

Question

Todo el mundo sabe la fórmula de Euler

$e^{ix}=\cos x +i\sin x$

¿Hay cualquier otra constante al lado de $i$ que satisface la ecuación anterior?

Answer 1

Si escribes $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, entonces cualquier constante $k$ que esto es cierto tiene $e^{kx}$ como una combinación lineal de $e^{ix}, e^{-ix}$. De independencia lineal de la funciones $e^{kx}$ $k\in \mathbb{C}$, podemos concluir que el $k = \pm i$.

Answer 2

Si he entendido bien su pregunta de preguntar acerca de la
ecuación exp(ax) = cos(x) + asin(x) ; a ≠ i, no por la igualdad de funciones, pero para la igualdad de los números. Vemos el problema desde los dos puntos de vista. Para funciones reales, está claro que es imposible. En el complejo tendríamos la igualdad exp(ax) – exp(ix) = (a-i)sin(x); tomar la segunda derivada y sumando obtenemos (a^2 + 1) exp(ax) = 0, por lo que aún no es posible. Para diophantine ecuaciones para cada uno de los negativos una constante, una infinidad de x positivo con las parejas (x,a) que satisface la igualdad lo que es claro, ya de intersección de ambas curvas.