¿Qué hace "el topos $\mathbf{M}_2$" un contraejemplo tan buena?

Question

Me gustaría hacer esta pregunta, más pronto que tarde, ya que podría ser un poco a medias. Así que, lo siento. Es sólo que hay una probabilidad de que voy a ser desviada de la Teoría de Topos para un par de meses (con algún grupo de la teoría de las ideas).

Lo que hace que "el topos $\mathbf{M}_2$" buena "topos" de la teoría de la contraejemplo?

Goldblatt hace un uso intensivo de $\mathbf{M}_2$-$\mathbf{Set}$, se refiere como "los topos $\mathbf{M}_2$," como una fuente de contraejemplos a diversos fenómenos en el Topos de la Teoría; de hecho, él lo llama el "canónica" y "universal" contraejemplo.

Es este lugar único en su patología?

Vamos a tener un resumen de las definiciones:

Definición 1: La monoid $\mathbf{M}_2$ está dado por $(2=\{0,1\}, \cdot, 1)$ donde $\cdot$ está definido por $$1\cdot1=1,\quad\quad 1\cdot0=0\cdot1=1\cdot 0=0.$$

Definición 2: Un $\mathbf{M}_2$-set es un par $(X, \lambda)$ donde $X$ es un conjunto y $\lambda: \mathbf{M}_2\times X\to X$ es una acción de $\mathbf{M}_2$$X$.

Definición 3: El topos $\mathbf{M}_2$-$\mathbf{Set}$ es la categoría cuyos objetos son $\mathbf{M}_2$-conjuntos y cuyos morfismos son de acción-la preservación de las funciones. Una prueba de que es un topos es dado aquí (con $M$$\mathbf{M}_2$).

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Ejemplos específicos de cómo esta cosa actúa como un contraejemplo están más allá de mi capacidad de explicar. Son varios capítulos de profundidad en Goldblatt del libro.

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Pensamientos: no tengo nada que no trivial decir. (Ya le he dado las definiciones básicas así que no quiero insultar su inteligencia . . . ).

Answer 1

Tenga en cuenta que $X$ $\mathbf{M}_2$- acción (o, como me suele pensar, un $\mathbb{F}_1$-acción) es lo mismo que un surjective mapa de $0\cdot - : X=X_1\to X_0$, junto con una sección de $X_0 \to X_1$ (que voy a tratar como una inclusión).

Esta correspondencia también nos da una (functorial) relación entre el $\mathbf{Set}$ $\mathbf{M}_2$ como topoi (que no tienen tiempo para trabajar en el momento, pero debe ser algo sencillo).

Si pensamos en $\mathbf{Set}$ como la lógica de la vainilla de la teoría de conjuntos, podemos pensar de $\mathbf{M}_2$, de la siguiente manera. Decir que una proposición puede ser "verdad" o "clase" de verdad". Tenemos la siguiente lógica: "realmente verdadero = verdad", "realidad verdadera = tipo de verdad", et cetera. Por ejemplo, si queremos probar si "$x\in X$" es verdadera, entonces decimos que es "verdad" si $x\in X_1\setminus X_0$, pero sólo "tipo de true" si $x\in X_0$.

Así que, en cierto sentido, el lenguaje de la $\mathbf{M}_2$ es un mínimo de enriquecimiento de estándar de Zermelo-Fraenkel teoría que permite este semántica de la tolerancia. Como tal, es una cosa muy razonable para pensar en él como un ejemplo universal de una teoría sin la ley del medio excluido, pero es difícil decir más sin mirar de cerca lo que Goldblatt pretende decir aquí.