Que $f:G\to G'$ ser un homomorfismo sobreyectiva. Demostrar que si $G$ es cíclico, entonces $G'$ es cíclico.

Question

Solo quisiera saber si estoy en lo correcto.

Prueba: Supongamos $G$ ser generados por $x$ (Deje $G=\langle x \rangle$ algunos $x$$G$.) Queremos mostrar que existe una $x'$ $G'$ tal que $G'=\langle x' \rangle$. En primer lugar, vamos a demostrar que para todos los $x^n$ en $G$, $f(x^n)=f^n(x)$. Procedemos por inducción. Caso Base: $n=1$. $f(x*e_G)=f(x)f(e_G)=f(x)$. Ahora, suponga que $f(x^k)=f^k(x)$ para algunos arbitraria entero positivo k. Nos muestran que $f(x^{k+1})=f^{k+1}(x)$. Observar que $f(x^{k+1})=f(x^kx)=f(x^k)f(x)=f^k(x)f(x)=f^{k+1}(x).$ a continuación vamos a demostrar que para todos los $x^{-n}$ en $G$, $f(x^{-n})=f^{-n}(x)$. Procedemos por inducción. Caso Base: $n=-1$. $f(x^{-1}*e_G)=f(x^{-1})f(e_G)=f(x)$. Ahora, suponga que $f(x^{-k})=f^{-k}(x)$ para algunos arbitraria entero positivo k. Nos muestran que $f(x^{-k-1})=f^{-k-1}(x)$. Observar que $f(x^{-k-1})=f(x^{-k}x)=f(x^{-k})f(x)=f^{-k}(x)f(x)=f^{-k-1}(x).$ Porque $f$ a, $Im(f)=G'$ y, por tanto,$Im(f)=(...,f^{-2}(x),f^{-1}(x),e_G,f(x),f^2(x),...)=G'$.Por lo tanto, existe una $x'$ $G'$ tal que $G'=<x'>$ y la prueba está completa por el principio de inducción matemática. Q. E. D.

Tengo la sensación de que la prueba no debería ser tan largo. Alguna sugerencia para un corto, limpiador de la prueba?

Answer 1

Que $g\in G$ sea un generador de $G$. Mostraremos que $f(g)$ $G'$ de genera.

Que $h'\in G'$ y $h\in G$ una preimagen de $h'$ (esto es posible como $f$ es sobreyectiva). Como $G$ es cíclico, hay un $n$ $g^n=h$. Aplicar $f$ obtenemos $$h'=f(h)=f(g^n)=f(g)^n,$$ so every element in $G %'$ is a power f $f (g) $, what means exactly that $f (g) $ generates $G ' $.

Answer 2

Un equivalente de la caracterización cíclica de los grupos es:

Lema: Un grupo de $G$ es cíclico si y sólo si recibe un surjective homomorphism de $\mathbb{Z}$.

Prueba: Si $G$ es cíclico y $g$ es un generador, entonces el mapa $\mathbb{Z} \to G$, $k \mapsto g^k$ es (por definición) surjective. Por el contrario, si $\phi \colon \mathbb{Z} \to G$ es surjective, vamos a $g = \phi(1)$, lo $g^k = \phi(k)$ por el homomorphism propiedad; surjectivity muestra que estos escape de los elementos de $G$, que es cíclico.

Entonces, si $f \colon G \to H$ es surjective, y si $G$ es cíclica, es decir, recibe un surjective mapa de $\phi \colon \mathbb{Z} \to G$, y por lo $f\phi$ es un surjective mapa de $\mathbb{Z} \to H$, que es cíclico.

Answer 3

Por los teoremas del isomorfismo, $G/\ker(f)\simeq\operatorname{im}(f)=G'$, pero cada cociente de un grupo cíclico es cíclico (el coset de un generador generará el cociente), $G'$ es cíclico.