¿Cómo demostrar que es posible hacer rombos con cualquier cantidad de puntos interiores?

Question

Me dieron papel cuadriculado que se puede encontrar en este enlace: http://lrt.ednet.ns.ca/PD/BLM/pdf_files/dot_paper/sq_dot_1cm.pdf y me dijeron que dibujara algunos rombos con los vértices en los puntos pero sin otros puntos en los bordes.

Aquí tienes un ejemplo:

Este no es un rombo, sólo muestra cómo debe ser la forma.

                   A = 6

El número de puntos interiores sería representado por A. Luego me dijeron que es posible dibujar rombos con cualquier número de puntos interiores. Solo tenía que demostrarlo.

Empecé intentando dibujar estas formas y creé algunas imágenes como las siguientes:

A = 2 A = 4 A = 9

Sin embargo, todavía no estoy segura de cómo se puede demostrar algo así, ya que puede haber numerosas formas de dibujar estos rombos.

Agradecería apoyo.

¡Gracias! :)

Answer 1

Para muchos valores de $n$, hay muchas más formas de dibujar un rombo alrededor de $n$ puntos de las que necesitas. Realmente solo hay dos formas en las que necesitas pensar acerca de dibujar un rombo de acuerdo a las reglas dadas; estas dos formas de dibujar el rombo te permitirán cercar cualquier número no negativo de puntos de la red (puntos con coordenadas enteras) que desees.

El primer tipo de rombo se ve así:

Elige un número entero $m$. Si supones que los puntos en tu papel representan todos los puntos con coordenadas enteras en un plano cartesiano, pon el vértice más a la izquierda del rombo en el punto con coordenadas $(0,0)$, luego pon los otros tres puntos en $(m,1)$, $(2m, 0)$ y $(m, -1)$ respectivamente. La figura de arriba muestra el resultado cuando $m = 3$.

Puedes demostrar que

• dos bordes adyacentes de este cuadrilátero tienen la misma longitud;
• cada par de bordes opuestos son iguales y paralelos;
• cada borde se encuentra entre las líneas $y=0$ y $y=1$ (o $y=-1$ y $y=0$);
• cada borde tiene puntos de la red en sus extremos y en ningún otro lugar;
• los únicos puntos de la red que pueden estar en el interior del rombo son los puntos en la línea $y=0$;
• los puntos de la red $(x,y)$ dentro del rombo satisfacen $0 < x < 2m$;
• hay exactamente $2m - 1$ puntos de la red dentro del rombo.

El otro tipo de rombo se ve así:

Esta vez, después de elegir un número entero $m$, pones el vértice más a la izquierda del rombo en el punto con coordenadas $(0,0)$, luego pones los otros tres puntos en $(m,m+1)$, $(2m+1, 2m+1)$ y $(m+1, m)$ respectivamente. La figura de arriba muestra el resultado cuando $m = 2$.

Puedes demostrar que

• dos bordes adyacentes de este cuadrilátero tienen la misma longitud;
• cada par de bordes opuestos son iguales y paralelos;
• cada borde se encuentra entre las líneas $y=x$ y $y=x+1$ (o $y=x-1$ y $y=x$);
• cada borde tiene puntos de la red en sus extremos y en ningún otro lugar;
• los únicos puntos de la red que pueden estar en el interior del rombo son los puntos en la línea $y=x$;
• los puntos de la red $(x,y)$ dentro del rombo satisfacen $0 < x < 2m+1$;
• hay exactamente $2m$ puntos de la red dentro del rombo.

Luego puedes demostrar que para cualquier entero no negativo de la forma $2m-1$, donde $m$ es un entero, puedes cercar $2m - 1$ puntos en un rombo; y para cualquier entero no negativo de la forma $2m$, puedes cercar $2m$ puntos en un rombo. Lo único que queda por mostrar es que cada entero no negativo $n$ se puede escribir como $n=2m-1$ o como $n=2m$, donde $m$ es un entero.

---

Por cierto, si miras cuidadosamente cualquiera de las dos respuestas anteriores, puedes ver que te indican usar fundamentalmente la misma serie de rombos (posiblemente desplazados hacia arriba, abajo y/o a los lados y posiblemente girados $90$ grados, ninguno de los cuales cambia los resultados de ninguna manera que importe) para cercar cualquier número impar de puntos de la red y cualquier número par de puntos de la red. Considera eso al asignar crédito; cada una de esas respuestas puede merecer el premio, o al menos parte de él.

Answer 2

Si $l$ es el número deseado de puntos de red internos, para $l$ impar tomar el rombo definido por los puntos

$(0,0), ({l+1\over 2}, {l-1\over 2}), ({l-1\over 2}, {l+1 \over 2}), (l, l)$

y para $l$ par, el rombo definido por los puntos

$(0,0), ({l\over 2}+1, -{l\over 2}), (-{l\over 2}, {l\over 2}+1), (1, 1)

Explicación: Un rombo puede ser definido por dos vectores $(a,b)$ y $(c,d)$ de igual longitud al colocar los vértices en $(0,0), (a,b), (c,d),$ y $(a+c, b+d)$. Cualquier paralelogramo definido de esta manera se sabe, por álgebra lineal básica, que tiene un área de $|ad-bc|$. Al reetiquetar podemos asumir $ad-bc > 0$, por lo que el área es simplemente $ad-bc.

Ahora asumamos $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. El segmento desde $(0,0)$ hasta $(a,b)$ no tendrá puntos de red en él excepto los puntos finales si y solo si $\gcd (a,b) = 1$, ya que si $(m,n)$ es otro punto de red en la misma línea, debemos tener $m/n = b/a$ (la pendiente de la línea medida de dos maneras). Pero esto significa que $b/a$ no estaba en términos más bajos, es decir, $\gcd (a,b) \ne 1$. El mismo argumento funciona para el segmento desde $(0,0)$ hasta $(c,d)$, y los otros dos segmentos entonces tampoco contendrán puntos de red además de los vértices ya que son solo traslaciones de los primeros dos. Nuestras condiciones hasta ahora en $a,b,c,d$ son

(a) $a^2+b^2 = c^2+d^2$

(b) $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$

Por el teorema de Pick, el número de puntos de red internos en un polígono de red es $l = A-b/2+1$, donde $A$ es el área y $b$ es el número de puntos de red en el perímetro. Para nosotros, $A = ad-bc$ y $b=4$, entonces encontramos

(c) $l+1 = ad-bc

Las coordenadas para $l$ par provienen de suponer $a=d, b=c$ y resolver

$l+1 = a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

al establecer $a-b=1, a+b=l+1$.

Esto no funciona para $l$ impar, pero podemos hacer esto en su lugar. Multiplicamos (c) por $2i$ y lo sumamos a (a), luego reorganizamos para obtener

$(a+id)^2-(c+ib)^2 = 2i(l+1)

dividimos por $i$ y factorizamos para obtener

(d) $[(a+c)+(b+d)i][(-b+d)+(-a+c)i] = 2(l+1)

Así, $a,b,c,d$ llevan a una factorización de $2(l+1)$ en $\mathbb{Z}[i]$. Las coordenadas en la parte superior provienen de resolver (d) para $a,b,c,d$ en la factorización

$2(l+1) = [(l+1)+(l+1)i][1-i]

Finalmente, en ambos casos, la condición (b) en los mcd se verifica rápidamente, ya que en todos los casos las coordenadas de $(a,b)$ o $(c,d)$ difieren por 1 en valor absoluto, por lo que deben ser primos entre sí.

Answer 3

El papel cuadriculado que describes puede considerarse como algo llamado la rejilla de enteros, es decir, el conjunto de puntos $(m,n)$ en el plano donde $m,n$ son enteros. Para hacer esta identificación, elige un punto arbitrario en el papel cuadriculado y llámalo $(0,0)$. Si $m,n$ son enteros positivos, entonces $(m,n)$ es el punto que está $m$ puntos a la derecha y $n$ puntos arriba de $(0,0)$. Si $m$ es negativo, muévete a la izquierda en lugar de a la derecha. Si $n$ es negativo, muévete hacia abajo en lugar de hacia arriba.

Para reformular lo que deseamos probar con esta terminología, podríamos decir que para cualquier número de puntos $s$, hay un rombo $R$ con vértices en la rejilla de enteros cuyo borde (excepto los vértices) no contiene puntos de la rejilla de enteros, y $R$ contiene $s$ puntos de la rejilla de enteros en su interior.

Tu primer ejemplo se generaliza naturalmente de la siguiente manera.

Sea $n$ un entero positivo y considera el rombo $R$ cuyos vértices consisten en los puntos $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,n)$ y $(0,-n)$. El rombo $R$ no contiene puntos de la rejilla de enteros en su borde excepto sus vértices, ya que sus lados tienen valores de $x$ entre $0$ y $1$. Además, $R$ contiene los puntos $(0,k)$ para $-n < k < n$ en su interior, de los cuales hay $2n-1$. Esto demuestra que puedes encontrar un rombo que contiene un número deseado impar de puntos de la rejilla de enteros en su interior. Si tienes problemas para ver esto, intenta dibujar un rombo como este en tu papel cuadriculado.

Para encontrar un rombo que contenga un número deseado par de puntos de la rejilla de enteros en su interior, intenta usar un rombo colocado en diagonal como en tu primer ejemplo (nota: ese tiene 2 puntos en el interior). Intenta trabajar en el resto de este argumento por ti mismo; es similar al que he presentado anteriormente.

Answer 4

Soy un estudiante al que también se le asignó esta pregunta, así que pensé que sería más beneficioso para ti leer una explicación escrita por otro compañero. He utilizado imágenes y ejemplos para ayudarte a entender el concepto, en lugar de utilizar matemáticas sin sentido. ¡Espero que esto te ayude!

Podemos construir fácilmente un rombo con cualquier número de puntos interiores si consideramos estos 2 patrones.

Si consideramos que R es igual a "rombo" e I es igual a "puntos interiores," (refiriéndonos al diagrama) Si construimos rombos en este ángulo particular, podemos adquirir cualquier cantidad de puntos interiores con NÚMEROS PARES (2,4,6,8 etc), solo tenemos que expandir el rombo en 1 punto en cada lado cada vez. He resaltado los puntos de cada rombo en relación entre sí para que sea más claro para ti.

Después de observar un poco, puedes ver que emerge un patrón claro, pero el problema es, ¿qué pasa con los números impares? Tengo otro patrón similar al de los números pares, pero los rombos están en ángulos diferentes.

Como puedes ver, si simplemente inclinamos el rombo en un ángulo diferente, podemos adquirir NÚMEROS IMPARES (1,3,5,7 etc) de puntos interiores. Igual que antes, alcanzamos números impares más altos expandiendo el rombo en un punto en cada lado. He resaltado los puntos de cada rombo en relación entre sí para que sea más claro para ti.

Ahora, combinemos estos 2 patrones para demostrar la pregunta.

0 Puntos interiores = R1 (primera imagen)-------- 1 Punto interior = R1 (segunda imagen)-------- 2 Puntos interiores = R2 (primera imagen)-------- 3 Puntos interiores = R2 (segunda imagen)-------- 4 Puntos interiores = R3 (primera imagen)-------- 5 Puntos interiores = R3 (segunda imagen)--------

Aunque se nos han acabado los ejemplos, ¿puedes ver claramente un patrón? Este patrón puede continuar hasta cualquier cantidad de puntos interiores que desees.

Por lo tanto, hemos demostrado la teoría de "construir un rombo con cualquier cantidad de puntos interiores." Puedes usar directamente mi respuesta, o puedes reformularla tú mismo, no me importa.

¡Espero que mi respuesta te haya ayudado con tu problema de geometría! He tratado de construir mi respuesta lo más claramente posible, así que espero que hayas entendido mi explicación.

Answer 5

La prueba es sencilla. Usemos la propiedad de que un rombo es un cuadrilátero cuyas diagonales son bisectrices perpendiculares. Acomodaremos todos los puntos interiores que queramos a lo largo de una línea.

1. Número impar de puntos interiores

Supongamos que queremos $p_o$ puntos interiores; consideremos $p_o$ puntos consecutivos a lo largo de una línea (notemos que el papel cuadrado tiene dos simetrías - recta y diagonal, así que podemos elegir ya sea una línea recta o diagonal. Elijamos una línea recta). Tomemos un punto a cada lado de estos $p_o$ puntos; servirán como dos de los vértices de nuestro rombo deseado. Consistente con nuestra definición, elegimos el punto que biseca la distancia entre estos $p_o+2$ puntos; desde el punto de bisección, trazamos una línea perpendicular. Los puntos inmediatos a cada lado que esta línea intersecta son los otros dos vértices de nuestro rombo. Unimos los cuatro vértices y así obtenemos nuestro rombo deseado.

2. Número par de puntos interiores

Seguimos el mismo procedimiento, pero dado que la línea que biseca perpendicularmente la distancia entre dos $p_e+2$ puntos nunca intersectará otro punto en el papel cuadrado, hagamos uso de su simetría diagonal. Así que elegimos nuestros $p_e$ puntos a lo largo de una diagonal en su lugar y seguimos el mismo procedimiento.

Por lo tanto, la prueba se sigue de las diagonales del rombo siendo bisectrices perpendiculares.