¿Cómo mostrar que $e^x$ es diferenciable?

Question

Traté de buscar durante unos minutos, pero no he encontrado esta pregunta, así que espero que no sea un duplicado.

Así que quiero mostrar que la $(e^x)' = e^x$. Para hacer eso, debo prueba de que el límite:
$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$ existe y es igual a $e^x$.

Así que tengo:
$$\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = e^x \bigg(\frac{e^h - 1}{h}\bigg) \\ e^h - 1 = z \implies e^h = 1+z >0 \implies h = \ln(1+z)$$ Debido a la continuidad de la $\ln$ $e^x$ funciones, tenemos:
$$h\0 \ffi e^h \1 \implica z\to0 \\ z > 0 \implica \frac{1}{z} \+\infty \\ z < 0 \implica \frac{1}{z} \\infty \\ \frac{e^h - 1}{h} = \frac{z}{\ln(1+z)} = \frac{1}{\frac{1}{z}\ln(1+z)} = \bigg[ y = \frac{1}{z} \bigg] = \frac{1}{y\ln(1+\frac{1}{y})} = \frac{1}{\ln(1+\frac{1}{y})^y} \\ h \0 \implica |y| \+\infty \implica \bigg(1+\frac{1}{y}\bigg)^y \e \implica \\ \lim_{h\to0}\frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \implica (e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\lim_{\pm\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$ ?

Definimos $e$ como este: $$\lim_{n\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n = e \space \,, \space n\in\mathbb{N}$$

Pensé en el teorema del sandwich:

$\forall x \geq 1 \,, x\in\mathbb{R} \,, \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$ $\lfloor x \rfloor , \lfloor x \rfloor + 1 \in \mathbb{N} $ y si me denotar $\mathbb{N} \ni n = \lfloor x \rfloor$ me han: $$ \bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)^n \leq \bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg)^x \leq \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \\ \lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)^n = \frac{\lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)} = \frac{e} a{1+0} = e \\ \lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^{n+1} = \lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \cdot \lim_{n\to+\infty}\bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg) = e \cdot (1 + 0) = e$$

y ahora que yo pueda aplicar el teorema, pero entonces de nuevo, ¿cómo puedo demostrar que esto: $\bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)^n \leq \bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg)^x \leq \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^{n+1}$ es cierto? Quiero decir, puedo decir que (lado izquierdo): $$ n+1 > x \implica \frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \implica 1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{x} \\ \forall y\in\mathbb{R_+} espacio \n \leq x \implica y^n \leq y^x \\ \implica \bigg(1 + \frac{1}{n+1}\bigg)^n \leq \bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg)^x$$ y por analogía el lado derecho, pero es esta una prueba en términos de límites?

y eso es sólo $+\infty$$x \geq 1$, ¿qué debo hacer para $-\infty$ ?

Para $x\in\langle 0, 1\rangle$, una sustitución de $y = \frac{1}{x}$ me da: $$\lim_{y\to 0}\bigg(1 + y\bigg)^\frac{1}{y}$$

Voy a dejar aquí para ver si estoy en el camino correcto, consejos, sugerencias, ediciones, comentarios y respuestas son bienvenidos!

Answer 1

Vamos a utilizar el básico derivado de la definición: $$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h} - e^x}{h}.$$ Después de algunas manipulaciones algebraicas usted encontrará que es igual a: $$e^x\cdot\color{blue}{\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h}.$$ He aquí una prueba de que $\color{blue}{\rm this\, term}$ es igual a uno, por lo tanto $(e^x)'=e^x$, tomado de proofWiki:

$$\eqalign{ \frac{e^ h - 1} de h&= \frac{\lim\limits_{n \to \infty} \left({1 + \dfrac h n}\right)^n - 1} h \\ &= \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k \mathop = 0}^n {n \elegir k} \left({\frac h n}\right)^k - 1} h\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k \mathop = 0}^n {n \elegir k} \left({\frac h n}\right)^k - 1} h\\ &= \lim_{n \to \infty} \left({ {n \elegir 0} 1 - 1 + {n \elegir 1} \left({\frac h n}\right)\frac 1 h + \sum_{k \mathop = 2}^n {n \elegir k} \left({\frac h n}\right)^k \frac 1 h }\right)\\ &=\lim_{n \to \infty}1 + \lim_{n \to \infty} \sum_{k \mathop = 2}^n {n \elegir k} \frac {h^{k-1} }{n^k}\\ Y=1 + h \lim_{n \to \infty} \sum_{k \mathop = 2}^n {n \elegir k} \frac{h^{k-2} } {n^k}.\\ }$$ El derecho sumando converge a cero, como se $h\to0$, y así: $$\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=1.$$