En lo sucesivo, "ultrafilter" significa "nonprinicpal ultrafilter en el set, $\omega$, de los números naturales."
Un ultrafilter $U$ es de Ramsey, si para cada partición $P$ $\omega$ en conjuntos no en $U$, hay un conjunto $a\in U$ tal que $\forall p\in P, \vert{a\cap p}\vert = 1$.
Si suponemos que el CH, se puede construir un Ramsey ultrafilter mediante la enumeración de todas las particiones $\langle P_\alpha : \alpha<\omega_1\rangle$, y de forma iterativa, la elección de infinito electrógenos, $X_{\alpha+1}\subseteq X_\alpha$ tal que cualquiera de las $X_{\alpha+1}\subset p$ algunos $p\in P_\alpha$ o $\vert X_{\alpha+1}\cap p\vert \leq 1$ todos los $p\in P_\alpha$. Porque cada límite de la etapa de $\beta$ es sólo contables podemos encontrar un conjunto $X_\beta$ que es casi contenidas en $X_\alpha$ por cada $\alpha<\beta$.
De hecho, la construcción anterior puede ser utilizado para producir $\aleph_1$ distintos Ramsey ultrafilters: para un adecuado $P_0$, $\aleph_1$ opciones para $X_1$ que conducen a distintas ultrafilters.
Por otro lado, creo que hay, al menos, $2^\frak{c}$ ultrafilters: elija cualquiera de los casi discontinuo de la familia $\cal{A}$ del tamaño de la $\frak{c}$, entonces para cada a $S\in \mathscr{P}(A)$ deje $U_S$ ser cualquier ultrafilter que contengan $\{A\in S\}\cup\{\omega\setminus A: A\in \cal{A}\setminus S\}$.
Mi pregunta es: cuando Ramsey ultrafilters existen, cuántos existen? Específicamente estoy interesado en la situación en virtud de la (G)CH.
Puede la construcción por encima de ser observado para producir el máximo número de ultrafilters? O al menos más de $\aleph_1$?
