Una forma en colector de cociente

Question

Deje $M$ ser un suave colector con la tangente bundle $TM$ y la cotangente del paquete de $TM^*$ $\psi\in TM^*$ una sola forma. Se denota el coeficiente de colector de $M$ por el libre y adecuado $G$-acción $\varphi$$\bar M=M/G$. El mapa de proyección $\pi:M\mapsto \bar M$ es un buen inmersión. Me gustaría saber cómo proyectar el formulario a- $\psi$ $\bar M$ es decir, definir una forma de $\bar \psi\in T\bar M^*$ proyectando $\psi$ $\pi$ y, finalmente, para conocer las condiciones de $\psi$ ha de satisfacer en orden para $\bar \psi$ a estar bien definidos. En el caso de un campo de vectores, el pushforward proporciona una manera natural con el fin de definir los vectores en cada punto de $\bar M$, pero como el pullback opera al revés, no parece adecuado para definir una de las formas de$M$$\bar M$. ¿Alguien tiene alguna sugerencia o referencias ? Muchas gracias.

Edit: Más precisamente, estoy interesado en un colector $M$ quotiented por la acción definida por el flujo de un campo vectorial por lo que el grupo $G=(R,+)$ que no es discreto y el mapa de proyección $\pi:M\mapsto \bar M=M/G$ no es una inmersión. Me deshago de una sola forma o covector campo en $M$, $\psi:TM\mapsto C^\infty$ y quisiera saber las condiciones en las $\psi$ a fin de $\psi$ a inducir una bien definida de un campo de formulario de $\bar \psi:T\bar M\mapsto C^\infty$ en el cociente colector $\bar M$.

Answer 1

Estoy asumiendo por una proyección que significa un $\tilde \psi$ que tira hacia atrás de a $\psi$.

Primero vamos a considerar el pointwise problema: el proyecto de una sola tangente covector $\psi_p \in TM^*$. Voy a omitir el explícito $p$ dependencia de los lineales de los mapas de $d\pi$$\pi^*$.

Supongo que esta es la más obvia observación: El pullback $\pi^*$ es el adjunto de la diferencial, por lo que es inyectiva porque $d\pi$ es surjective y por lo tanto la proyección es único, si es que existe. Asimismo, es surjective cuando el diferencial es inyectiva; por tanto, tenemos una condición necesaria y suficiente para cada $\psi_p \in TM^*$ a tener una proyección $\tilde\psi_{\pi (p)}$: necesitamos $\pi$ es una inmersión. Esto sucede cuando $G$ actúa de forma discontinua.

Si la acción no es discontinuo, el $\psi_p$ que tienen proyecciones son sólo los que están en la imagen de $\pi^*$. En particular, yo creo que esto significa que si $G$ contiene un parámetro subgrupo $\phi : \mathbb{R} \times M \to M$, con su correspondiente flujo de campo $X_p = d/dt(\phi_t (p))$, luego tenemos a $\psi_p(X)=0$.

Ahora bien, si queremos un proyecto de un campo de $\psi \in \Gamma (TM^*)$ tenemos las condiciones mencionadas para ser satisfechos en cada punto; pero esto no es suficiente: se podría obtener diferentes valores de $\tilde \psi_{\pi(p)}$ aplicando el argumento de arriba a $\psi_p$ $\psi_{q}$ donde $p,q$ compartir una órbita (por lo que el proyecto para el mismo punto en el cociente).

Este problema se plantea en general, por ejemplo, cuando la proyección de las funciones o campos vectoriales. Para resolver esto, tenemos que comprobar que el campo de $\psi$ es preservado por la $G$-acción; es decir, por cada $g \in G$ necesitamos $L_g^*\psi=\psi$ donde $L_g:M \to M$ es el diffeomorphism $x \mapsto g \cdot x$.