En un espacio metrizable, la Unión de una cadena de los subconjuntos cerrados de es % F $_\sigma$

Question

Deje $(X,\tau)$ un topológico metrizable espacio y $\mathcal{F}$ una colección de subconjuntos cerrados de X, que es linealmente ordenado por inclusión. Mostrar que $\bigcup \mathcal{F}$ F$_\sigma$.

Aquí está mi intento de probar esto:

Deje $d$ una métrica que genera $\tau$. Supongamos que no es posible escribir $\bigcup\mathcal{F}$ como una contables de la unión de conjuntos cerrados, digamos $\bigcup F_n$, $F_n \in \mathcal{F}\enspace \forall n$.

Deje $F\in\mathcal{F}$. Si $K \in \mathcal{F}$, es tal que $F\subset K$, $x \in K$ tal que $d(x,F) >0$. Así, sería posible obtener un no-contables set $\{x_K : K \in \mathcal{F} \}$ tal que $d(x_K, F)$ es monótona creciente en $\mathbb{R}$. Entonces obtendremos un no-contables de la colección de de distintos intervalos abiertos en $\mathbb{R}$.

No estoy seguro de si todo lo que hasta el momento es el adecuado, y no tengo otras ideas para demostrar la afirmación. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Nate la observación es esencialmente esto: Deje $X$ ser un countably apretado espacio, es decir, para cada subconjunto $A \subseteq X$

$$\forall x \in \overline{A} :\exists A' \subseteq A: (|A'| \le \aleph_0) \land (x \in \overline{A'})$$

Tenga en cuenta que todas las métricas espacios de satisfacción de este, se puede incluso tomar una secuencia convergente de $A$ convergentes a $x$, utilizando un contable de base local.

Supongamos $\mathscr{F}$ es una familia de conjuntos cerrados, linealmente ordenado por inclusión.

Supongamos que $\mathscr{F}$ tiene una cofinal contables subconjunto:

$$\exists \mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}: (\left|\mathscr{F}'\right| \le \aleph_0) \land (\forall F \in \mathscr{F} \exists F' \in \mathscr{F}': F \subseteq F')$$

En ese caso $\bigcup \mathscr{F} = \bigcup \mathscr{F'}$ (de derecha a izquierda inclusión es inmediata y de izquierda a derecha inclusión folllows de cofinality) y el último conjunto es una $F_\sigma$, por definición.

Si no hay ningún contables cofinal subconjunto: $F= \cup \mathscr{F}$ es cerrado.

Deje $x \in \overline{F}$, el contable de la estanqueidad se garantiza que tenemos una contables subconjunto $C$ $F$ tal que $x \in \overline{C}$. Para cada $c \in C$ pick $F_c \in \mathscr{F}$$c \in F_c$. A continuación, $\mathscr{F}' = \{F_c: \in C\}$ es contable, por lo que no puede ser cofinal, lo que significa que hay un $G \in \mathscr{F}$ tal que para todo $c$, $G \nsubseteq F_c$ y, como tenemos un linealmente ordenado de la colección, para esto $G$ tenemos $F_c \subseteq G$.

Ahora: $$x \in \overline{C} \subseteq \overline{\bigcup\{ F_c: c \in C\} } \subseteq \overline{G} = G$$

como $G \in \mathscr{F}$ es cerrado. Por lo $x \in F$ $F = \cup \mathscr{F}$ es cerrado ( así también una $F_\sigma$).

Answer 2

No creo que la prueba de que funciona. No se puede asegurar que, por $K \subset K'$,$d(x_K, F) \le d(x_{K'}, F)$. Considere la posibilidad de la cadena de $\{0\} < \{0,1\} < \{0, 1, 1/2\}$. Además, incluso si usted consigue una monótona creciente de la cadena en $\mathbb{R}$, que no es ninguna contradicción ($\mathbb{R}$ sí es una cadena) y no implica la existencia de una cantidad no numerable de intervalos disjuntos.

He aquí una sugerencia, aunque. Set $A = \bigcup \mathcal{F}$. Si hay una secuencia $F_1 \subset F_2 \subset \dots$ que es cofinal, es decir, tal que para cada a $F \in \mathcal{F}$ hay $n$ tal que $F \subseteq F_n$, entonces se nos hace debido a $A = \bigcup_n F_n$. Así que supongo que no. En este caso se puede demostrar que los $A$ es cerrado. Para dejar $x$ ser un punto límite de $A$. Usted puede encontrar una secuencia $x_n \in A$ convergentes a $x$. Pero cada una de las $x_n$ es en algunas de las $F_n \in \mathcal{F}$; lo que se puede hacer con la secuencia de $F_n$?