Calcular una tasa con una sola suma

Question

Tengo un $n$ eventos, cada uno con algún valor $x$ y duración $t$ . Puedo calcular la tasa global de la siguiente manera: $$\text{rate} = \frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\sum_{i=1}^nt_i}$$

¿Es posible (o demostrablemente imposible) calcular una tasa global con una única suma sobre los sucesos? $$\text{rate} = \sum_{i=1}^nf(x_i, t_i)\text{ ?}$$

Answer 1

$$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{1}{\sum_{i=1}^n t_i}$$

Sobre la segunda definición tomar la derivada respecto a $x_i$ :

$$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f(x_i,t_i)}{\partial x_i}$$

Igualando ambos para $i=1$ :

$$\frac{1}{\sum_{i=1}^n t_i}=\frac{\partial f(x_1,t_1)}{\partial x_i}$$

Integrar el respeto a $x_1$ :

$$\frac{x_1}{\sum_{i=1}^n t_i}+g(x_2,\cdots,x_n)=f(x_1,t_1)$$

Obviamente (las derivadas son cero):

$$g(x_2,\cdots,x_n)=c$$

Por lo tanto:

$$\frac{x_1}{\sum_{i=1}^n t_i}+c=f(x_1,t_1)$$

Claramente esto da una contradicción (porque el valor de $t_1$ está condicionada por la otra $t_i$ )

Answer 2

La respuesta es que es imposible.

Déjalo: $${\sum_{i=1}^n{x_i} \over \sum_{i=1}^n{t_i}}=\sum_{i=1}^n{f(x_i,t_i)}$$ Podemos escribirlo como: $${X_n \over T_n}=F_n$$ O: $${X_n}=F_n T_n$$ $${\partial {X_n} \over \partial {x_i}}={\partial {F_n} \over \partial {x_i}}T_n+F_n{\partial {T_n} \over \partial {x_i}}$$ $$1={\partial {f_i} \over \partial {x_i}}T_n+0$$ $$\left ({\partial {f_i} \over \partial {x_i}} \right )^{-1}={T_n}$$ Déjalo: $$u(x_i,t_i)=\left ({\partial {f_i} \over \partial {x_i}} \right )^{-1}$$ $${\partial \over \partial {t_j}}u(x_i,t_i)={\partial {T_n} \over \partial {t_j}}$$ Esto produce: $$0=1$$