¿Cuál es la motivación de los mapas de adjunctions?

Question

En Mac Lane, hay una definición de una flecha entre adjunctions llamado un mapa de adjunctions. En detalle, si un functor $F:X\to A$ adjunto a $G:A\to X$ y de manera similar a $F':X'\to A'$ medico adjunto $G':A'\to X'$, a continuación, un mapa de la primera contigüidad a la segunda es un par de functors $K:A\to A'$ $L:X\to X'$ tal que $KF=F'L$, $LG=G'K$, e $L\eta=\eta'L$ donde $\eta$ y $\eta'$ son las unidades de la primera y la segunda contigüidad. (El última condición tiene sentido porque de las dos primeras condiciones; también, hay condiciones equivalentes en términos de la co-unidades, o en términos de la natural bijections de hom-conjuntos).

Tan lejos como puedo ver, después de la definición, mapas de adjunctions no aparecen en cualquier lugar en Mac Lane. Buscando en google, he encontrado esta definición también en la disculpa matemático, de nuevo con la motivación de ser una flecha entre adjunctions.

Pero ¿cuál es la motivación para la definición de las flechas entre adjunctions en primer lugar? Me resulta difícil creer que la única la motivación para definir tales flechas es, así, definir las flechas...

Así que mi pregunta es: ¿Cuál es la motivación para la definición de un mapa de adjunctions? Donde están esos mapas que se utilizan?

Además de la disculpa matemático, los únicos lugares en la web donde puedo encontrar el término "mapa de adjunctions" fueron esporádicos trabajos, a partir de la cual yo no era capaz de obtener una respuesta a mi pregunta (tal vez "mapa de adjunctions" no es la terminología estándar y debería haber buscó con un nombre diferente?).

Llegué a pensar acerca de esto al leer Emerton la primera respuesta a una pregunta acerca de las terminaciones de los espacios métricos. En esa pregunta, $X$ es la métrica espacios isométrica con incrustaciones, $A$ se completa métrica espacios isométrica con incrustaciones, $X'$ es la métrica espacios con uniformemente continua mapas, $A'$ es completa métrica espacios con uniformemente continua en los mapas, y $G$ $G'$ son inclusiones. Ahora, si lo he entendido las implicaciones de Emerton la respuesta correctamente, entonces
es posible elegir a la izquierda adjoints $F$ $F'$ $G$ $G'$tal que el (no completo) inclusiones $A\to A'$ $X\to X'$ forma de un mapa de adjunctions. Esto me hizo pensar si el hecho de que tenemos un mapa de adjunctions tiene ningún valor añadido. Entonces me di cuenta de que yo no incluso sabe cuál fue la motivación para aquellos mapas en el primer lugar.

[EDIT: Corregido un error señalado por Theo Johnson-Freyd (¡gracias!)]

Answer 1

Aquí es un ejemplo de cómo uno podría haber tropezado con la definición de un mapa de adjunctions. Suponga que usted está trabajando en un proyecto de investigación con un colaborador. Vamos a llamar a su Jane por el bien del argumento. En el primer día y Jane se dan cuenta de que su proyecto conjunto de investigación depende, en parte, en saber si un functor F tiene un derecho adjuntos. También depende de tomar ese supuesto derecho adjuntos y ponerlo a buen uso. Así que usted realmente necesita saber lo que la derecha adjunto. Usted y Jane llamar a un día, y se compromete a seguir trabajando al día siguiente.

Esa noche ambos de ustedes son, independientemente de su inspiración. Usted se despierta en medio de la noche un apunte algunas notas. A la mañana siguiente y Jane se reúnen para discutir lo que usted ha cada resuelto. Fantástica noticia! Ambos han encontrado la derecha medico adjunto F. inmediatamente comenzar a cepillar cómo se va a resolver XYZ-Gran-Problema con este fabuloso derecho adjuntos. Después de la celebración del humor mercancías, tú y Jane cuenta con algunos de horror de la verdad. Su derecho adjoint G no es el mismo como Jane derecho del adjunto G'. Son diferentes functors y la contigüidad de la estructura de los mapas son diferentes.

Lo que debes hacer? Que uno debe utilizar?

Afortunadamente Jane tiene un destello de comprensión. Sabemos que dos functors puede ser isomorfo, ¿qué acerca de adjunctions? Después de pensar en esto un poco más, y Jane averiguar que una de morfismos de adjunctions debe ser una de morfismos de functors que conserva la contigüidad de la estructura. Intenta hacer esto es la forma más sencilla posible y BAM! Usted ha redescubierto la noción de morfismos de contigüidad. Observa que, mientras que G y G' no son las mismas functor (y por lo tanto no la misma contigüidad) son isomorfos adjunctions. ¡Uf!

Pero ahora tú y Jane empezar a preocuparse seriamente. Usted tiene su functor F y usted sabe que su derecho adjoint G y Jane derecho del adjunto G' son isomorfos. Pero, ¿qué sucede cuando el Prof. X viene junto con su derecho adjoint G"? Va a ser isomorfo a G y G'? Dada F, cómo es su derecho adjuntos? Incluso si G, G' y G" son isomorfos adjunctions no podrían ser algunos de los monodromy, es decir, el isomorfismo, $$G \to G' \to G'' \to G$$ en teoría podría no ser la identidad.

Luego de leer un poco más lejos en MacLane y te encuentras con este teorema (estoy replanteando con alguna terminología que está en boga.

Teorema: Dado un functor F, la categoría de derecho adjoints a F (con su contigüidad de datos y con morfismos de adjunctions como morfismos) está vacío o es un contráctiles categoría (es decir, es equivalente a un terminal de la categoría, es decir, dos objetos son isomorfos y que isomorfismo es único).

Así que usted puede dejar de preocuparse. Cualquier otro derecho adjoint G" que el Prof. X trae a usted en el hecho de ser (exclusivamente) isomorfo a la que se descubrió.

Answer 2

Una de las aplicaciones de adjoint functors es componer ellos para conseguir una mónada (o comonad, según el orden en el que las componen). Un mapa de adjoint functors da lugar a un mapa de las mónadas. Así, uno podría preguntarse: ¿qué son los mapas de las mónadas? Muchos algebraicas categorías (tales como abelian grupos, anillos, módulos) puede ser descrito como categorías de álgebras de más de una mónada, otros (por ejemplo, en Arakelov geometría) son más fáciles de describir en forma. Un mapa de las mónadas, a continuación, da functors entre las categorías de álgebras sobre estos objetos.

Aquí es un ejemplo concreto de topología: Vamos a $E$ ser un conectivo generalizada multiplicativo de homología de la teoría, y deje $H = H(-;\pi_0E)$ ser ordinarias homología con coeficientes en $\pi_0E$. Existe un mapa de $E \to H$ la inducción de un isomorfismo en $\pi_0$. Para un espectro de $X$, el functor $\underline{E}\colon X \mapsto E \wedge X$ da lugar a una mónada, y de manera similar para $H$, con lo que obtenemos un morfismos de mónadas $\underline{E} \to \underline{H}$. La finalización de la $X\hat{{}_E}$ de un espectro de $X$ $E$ se define como la totalización de la cosimplicial espacios obtenida por la solicitud iterada $\underline{E}$$X$. La mónada mapa da un natural mapa de $X\hat{{}_E} \to X\hat{{}_H}$, que resulta ser una equivalencia para conectivo $X$.

Answer 3

Mac Lane libro "Categorías para el trabajo MAtematicians" uso "de los Mapas de adjunctions" (como él la había definido en su libro) sobre la universalidad de Kleisly o Eilenberg-Moore categoría de una contigüidad. De todos modos la familia de adjunctions una estructura general de una doble categoría, y la definición de MAcLAne es sólo un caso muy especial. Ver John W. Gray "Formal de la Categoría de la teoría de la" LNM 391, p.144.