Probar la desigualdad$\frac{1}{1-x}-\frac{x(3-x)(2-x)(13x^4-50x^3+89x^2-84x+36)}{4(1-x)(2x(1-x))^2}<1$

Question

¿Alguien puede sugerir sugerencias para probar la siguiente desigualdad:

ps

para todos $$\frac{1}{1-x} - \frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)(2x(1-x))^2} < 1,$?

Answer 1

Uno puede ver que para el inicial de la desigualdad cierto es suficiente para demostrar que $$ 1-\frac{(2-x) (3-x) \left(36-84 x+89 x^2-50 x^3+13 x^4\right)}{16 x(1-x)^2 }<0,\quad x \in (0,1), \tag1 $ $ , a continuación, configuración de $$ \begin{align} &f(x)=16 x(1-x)^2-(2-x) (3-x) \left(36-84 x+89 x^2-50 x^3+13 x^4\right) \end{align} $$ one gets$$ \begin{align} &f'(x)=700-2044 x+2535 x^2-1668 x^3+575 x^4-78 x^5 \in [20,700] \tag2 \\\\&f'(x)>0\implies f \nearrow, \quad x \in (0,1), \quad f(0)=-216, \quad f(1)=-8, \end{align} $$ giving $$ f(x)<0, \quad x \in (0,1), \tag3$$ que los rendimientos de $(1)$, dando lugar a la inicial de la desigualdad.

Observación. Mediante el establecimiento $t=1-x$ $f'(x)$ por encima de, se obtiene un polinomio con coeficientes positivos:

$$ 20+68 t+201 t^2+148 t^3+185 t^4+78 t^5 >0,\quad t \en (0,1), $$

demostrando $(2)$.

Answer 2

$$\frac{1}{1-x} - \frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)(2x(1-x))^2} < 1,$ $$$\frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)(2x(1-x))^2} > \frac{1}{1-x}-1,$ $ Para$$\frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)(2x(1-x))^2} > \frac{x}{1-x}.$ podemos probar que$x\in(0,1)$ $ o$$\frac{(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(2x(1-x))^2} > 1,$ $ Teniendo en cuenta que para$$(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36) - 4(2x(1-x))^2 >0.$ $x\in(0,1)$$$$x(1-x)\leq \dfrac14,\quad 3-x>2,\quad 2-x>1,$ $ Fácil demostrar la desigualdad requerida.

Answer 3

Sugerencia #1: se supone que al contrario que $$\frac{1}{1-x} - \frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)\left(2x(1-x)\right)^2} \geq 1$$ y entonces derivar una contradicción a $0 < x < 1$.

Sugerencia #2: (Nota: Esta edición es en respuesta a Josué Lochner.) Así que la prueba por contradicción, en realidad es así. Suponemos que, al contrario, existe una $x \in \mathbb{R}$ tal que $$\frac{1}{1-x} - \frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)\left(2x(1-x)\right)^2} \geq 1.$$ Por este WolframAlpha cálculo, esto implica que $$\left\{x \geq 3.9483\right\} \lor \left\{1 < x \leq 1.41066\right\} \lor \left\{x < 0\right\},$$ lo que contradice la suposición de $0 < x < 1$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $$\forall x \in (0, 1), \hspace{0.5in} \frac{1}{1-x} - \frac{x(3-x)(2-x)(13x^4 - 50x^3 + 89x^2 - 84x + 36)}{4(1-x)\left(2x(1-x)\right)^2} < 1$$