Mollificadores: Integral Bound

Question

Deseable es un ejemplo tal que:$$\varphi_0\in\mathcal{C}^\infty_0:\quad\int_0^\infty\left|\varphi_0^{(n)}(s)\right|\mathrm{d}s\leq2^n$ $ (No debería existir como uno obtendría elementos enteros para generadores de semigrupos.)

¿Cómo probar que siempre deben exceder el límite?

Answer 1

Considere la posibilidad de la transformada de Fourier de $\varphi_0$. Tenemos $$ \widehat{\varphi_0^{(n)}}(\xi)=C^n\,\xi^n\,\hat{\varphi_0}(\xi), $$ donde $C$ es una constante deppending en particular, la definición de la transformada de Fourier se utiliza. Entonces $$ |\widehat{\varphi_0^{(n)}}(\xi)|=|C|^n\,|\xi|^n\,|\hat{\varphi_0}(\xi)|\le\int|\varphi_0^{(n)}(x)|\,dx\le2^n\quad\forall\xi\in\mathbb{R},\quad\forall n\in\mathbb{N}. $$ Entonces $$ |\hat{\varphi_0}(\xi)|\le\Bigl(\frac{2\,|C|}{|\xi|}\Bigr)^n\quad\forall\xi\in\mathbb{R},\quad\forall n\in\mathbb{N}. $$ Esto implica que $\hat{\varphi_0}$ es compatible en $[-2\,|C|,2\,|C|]$, lo cual no es posible ya que $\varphi_0$ también ha compacto de apoyo.