¿Cuáles son los caracteres continuos aditivos (y multiplicativos) de$\mathbb{F}_p((x))$?

Question

Deje $\mathbb{F}_p((x))$ ser el campo local de formal laurent de la serie sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$ considera como un localmente compacto campo.

¿Qué son los aditivos de caracteres continuos de $\mathbb{F}_p((x)) \a \mathbb{C}^{\times}$?

¿Cuáles son los multiplicativo de caracteres $\mathbb{F}_p((x))^{\times} \ \mathbb{C}^{\times}$?

Sé cómo los personajes de $\mathbb{Q}_p$ están construidas de tomar la suma de la parte fraccionaria de la $p$-ádico de expansión que está bien definido hasta un entero, y entiendo por qué es continua. Para $\mathbb{F}_p((t))$ sin embargo no tengo idea de por donde empezar. La presencia del campo finito me confunde cuando trato de definir un homomorphism.

También sé que $\mathbb{F}_p((x))^{\times}=\mathbb{F}_p[[x]]^{\times}\times x^\mathbb{Z}$. Por lo que será presumiblemente suficiente para entender aditivo personajes de $\mathbb{F}_p[[x]]$. Por desgracia, aquí estoy atascado con el mismo problema que antes...

Answer 1

Este es un tema que me temo que no he pagado tanta atención como debería. Si algún experto gustaría meter la cuchara y me acusan de vapidity (o error) en lo que digo a continuación, voy un paso atrás.

Vamos a llamar a nuestro campo $\Bbb F_p((x))=k$ y su anillo de enteros $\Bbb F_p[[t]]=\mathfrak o$. En primer lugar, para el aditivo personajes, tenga en cuenta que, cuando miramos el modulo básico de un barrio de $0$, es decir,$t^m\mathfrak o$, tenemos $$ X_m=k/t^m\mathfrak o\cong\bigoplus_{j<m}\Bbb F_p\,, $$ una infinita suma directa. Esto, por supuesto, es radicalmente diferente de la situación para $\Bbb Q_p$. Supongo que (como todo pasa en la $p$-th raíces de la unidad en la $\Bbb C^\times)$ el conjunto de caracteres de $X_m$$Y_m=\prod_{j<m}C_p$. donde por $C_p$ me refiero sólo a un grupo cíclico de orden $p$. Ahora, desde la $k^+$ es el límite inversa de todas las $X_m$, supongo que lo que quieres es el límite de la $Y_m$'s, pero no tengo idea de lo que es esto. Eso es todo lo que puedo decir acerca de $k^+$.

Para el multiplicativo de los personajes, la historia es mucho más interesante. Se han identificado correctamente $k^\times=x^{\Bbb Z}\oplus\mathfrak o^\times$, pero $\mathfrak o^\times$ es igual, a su vez, a $\Bbb F_p^\times\oplus(1+x\mathfrak o)$. Lo que hay dentro de los paréntesis aquí es, explícitamente, $1+x\Bbb F_p[[x]]$, las unidades principales de $\mathfrak o$. Y la estructura de este tiene nada que ver con ninguna estructura aditiva. De hecho, en este caso las unidades principales son el producto directo (no la suma) de las copias de $\Bbb Z_p$, cada uno de ellos-uno de los factores, siendo el lapso de (como una opción posible entre muchos) $1+x^n$, donde el $n$ aquí ejecutar a través de todos los enteros primer a $p$. Explícitamente, entonces, $$ 1+x\mathfrak o=\prod_{n:(n,p)=1}(1+x^n)^{\Bbb Z_p}\,. $$ La razón de esto es que usted puede subir la serie en $1+x\mathfrak o$ cualquier $p$-ádico entero, porque los poderes $(1+x)^{p^m}$$1$$m\to\infty$. Ahora, para cualquier factor de aquí, los caracteres continuos de $(1+x^n)^{\Bbb Z_p}$ a $\Bbb C^\times$ el (continua) caracteres de $\Bbb Z_p$ a $\Bbb C^\times$, y estos son sólo el grupo de la torsión de los elementos de $\Bbb C^\times$ $p$- el poder de la orden. Usted puede reconocer a este grupo como $\Bbb Q_p/\Bbb Z_p$. Así que me parece que los caracteres continuos de $1+x\mathfrak o$ a $\Bbb C^\times$ $$ \bigoplus_{n:(n,p)=1}\Bbb Q_p/\Bbb Z_p\,. $$ Sólo espero que no me he perdido ningún sutilezas, y espero que esto resultará ser de alguna ayuda.