Límite de tetramiento

Question

Para cada una de las $n$, definir $f_n:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$ por $f_n(x) = \underbrace{x^{x^{x^{...^{x^x}}}}}_n$

Es cierto que $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(\frac{n+1}{n}) = 1$ ?

Un par de cálculos con Wolfram Alpha parecen sugerir así, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Una manera de pensar acerca de por qué podría ser verdad intuitivamente es compararlo con el límite de la definición de $e$, pero incluso esta intuición es handwavy (a pesar de que parece como que es verdad basada en los cálculos).

Además, estoy seguro de si el Binomio de expansión de la realidad nos ayuda aquí.

Estoy interesado en escuchar sus pensamientos.

Answer 1

La conversión a una altura infinita converge en el rango$[e^{-e} , e^{\frac1e}$] y en ninguna otra parte. Vea Wikipedia para la discusión de esto, pero es bastante fácil ver que esta restricción debe ser verdadera si la definición$\displaystyle{e}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$ es para sostener.

Answer 2

La respuesta es sí. En el artículo de Wikipedia hay un gráfico , que da$$\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)$ $

Para$e^{-e}<x<e^{1/e}$, este límite existe y está entre$e^{-1}$ y$e$. Como$x\rightarrow 1$, el límite se aproxima a 1, tal como lo conjetura OP.

Answer 3

Las respuestas anteriores son correctos.

Creo que hay una forma intuitiva de ver $why$ Tetration a infinito altura converge para $ x \in [e^{-e},e^{1/e}]$ (aunque hay que admitir que es muy handwavy). I proporcionar e intuitiva argumento para arriba dentro del rango de $x<e^{1/e}$. El mismo argumento que probablemente puede ser aplicado para $x>e^{-e}$.

Declaración audaz: Dado $x$ menor que el de cerca de $e^{1/e}$, una solución (por $y$) a la ecuación

$ x^y = y$

existe y está a menos de $e$.

Tomemos, por ejemplo, $1.4 < e^{\frac1e}$.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1.4%5Ex+%3D+x

La solución a la ecuación de $1.4^y = y$ nos interesa es 1.88666... .

Tratando de esta para los valores más cerca y más cerca (pero menos) $e^{1/e}$ sugiere la "Declaración Audaz", aunque realmente no he pensado acerca de una prueba.

Podemos resumir la Audaz Afirmación diciendo que para cualquier $x<e^{1/e}$ (y con x cerca de a $e^{1/e}$), $f(y) = x^y$ tiene un "punto fijo".

La aplicación de la Asignación de Contracción Teorema de a $f(y)$ (ojalá) producir el resultado que resuelve el OP.

Answer 4

Su argumento $ {n+1 \over n} $ puede ser rwritten como $ 1+ \frac 1n $ y, a continuación, uno podría buscar en $\lim_{x\to 0} 1+x $ donde $x = \frac 1n$. .

A continuación, observe la secuencia de Taylor de la serie de

$f(x)=1+x$,

$f_2(x)=(1+x)^{1+x} = 1 + x + x^2 + 1/2*x^3 + O(x^4)$,

$f_3(x)=(1+x)^{(1+x)^{1+x}} = 1 + x + x^2 + 3/2*x^3 + O(x^4) $,

y así sucesivamente. Usted encontrará que los coeficientes en las potencias de $x$ estabilizar una por cada iteración. Ahora suponga $n \to \infty$, lo que significa $x \to 0$ y ver que la serie infinita reduce a la constante $1$, por lo que esto hace que sea más intuitiva que, de hecho, el límite es de $1$.

Creo que es fácil de hacer formal teniendo en cuenta la potencia de la serie de $(1+x)^{1+x}=\exp( \log(1+x) \cdot (1+x + O(x^2) ) )$ e inducción.