Aproximación por una trayectoria $C^1$ de una trayectoria Lipschitz continua

Question

Me preguntaba si se cumple la siguiente igualdad:

$$\inf\left\{\int_0^1 G(\gamma(t))|\gamma'(t)|dt, \gamma \in X \cap (\text{Lipschitz})\right\}\stackrel{??}{=}\inf\left\{ \int_0^1 G(\gamma(t))|\gamma'(t)|dt, \gamma \in X \cap C^1\right\}$$

donde $X=\{ \gamma:[0,1]\to \Bbb{R}^d : \gamma(0)=a,\gamma(1)=b,\ |\gamma'|>0\}$ y $G$ es una función continua $G :\Bbb{R}^d \to [0,\infty)$ con ceros solo en $a,b$. Encontré un resultado que afirma que una función continuamente Lipschitz puede ser aproximada uniformemente por una función suave en la norma $L^\infty$, pero el resultado sobre la derivada no es muy fuerte.

Answer 1

Los detalles son un poco tediosos, pero es un hecho que dada Lipschitz $\gamma \in X$ puedes encontrar $\sigma \in X \cap C^1$ con $\|\gamma - \sigma\|_\infty < \epsilon$ y $\|\gamma' - \sigma'\|_{L^1} < \epsilon$. (Idea: Dado que las funciones continuas son densas en $L^1$, elige un $\lambda$ continuo con $\|\lambda - \gamma'\|_{L^1} < \epsilon/2$ y mira a $\sigma_1(t) = \gamma(0) + \int_0^t \lambda(s)\,ds$. Luego ajusta un poco $\sigma_1$ para garantizar que tenga el punto final correcto y una derivada distinta de cero.) Ahora puedes verificar que si $\gamma$ está cerca de lograr el ínfimo, entonces también lo está $\sigma$.

Esencialmente, este es el hecho de que $C^1([0,1], \mathbb{R}^d)$ es denso en el espacio de Sobolev $W^{1,1}([0,1], \mathbb{R}^d)$. Como dijo Leonid, solo necesitas que $\gamma$ sea absolutamente continua, y si quieres puedes elegir que $\sigma$ sea $C^\infty$ o incluso un polinomio.

Answer 2

Este no es necesariamente el enfoque más elegante, pero parece funcionar. (Por supuesto, el mejor enfoque es encontrar un libro donde esto ya esté hecho, pero aún no lo he hecho.)

1. Cubre la imagen de $\gamma$ con bolas abiertas $B_i$ de manera que la oscilación de $G$ en cada bola sea a lo sumo $\epsilon$.
2. Particiona $[0,1]$ en un número finito de subintervalos $[a_k,b_k]$ de manera que la imagen de cada subintervalo esté contenida en algún $B_i$.
3. Sustituye $\gamma$ en cada $[a_k,b_k]$ por un segmento de línea desde $\gamma(a_k)$ hasta $\gamma(b_k)$. Denomina a esta nueva curva poligonal como $\lambda$. Observa que $$\int_{a_k}^{b_k}G(\lambda(t))\,|\lambda'(t)|\,dt\le \sup_{B_i}G\int_{a_k}^{b_k}|\lambda'(t)|\,dt\le \sup_{B_i}G\int_{a_k}^{b_k}|\gamma'(t)|\,dt \\ \le \epsilon \int_{a_k}^{b_k}|\gamma'(t)|\,dt+\int_{a_k}^{b_k}G(\gamma(t))\,|\gamma'(t)|\,dt$$
4. De esta manera, el ínfimo puede tomarse sobre curvas poligonales. Estas puedes suavizarlas fácilmente.

Observa que $\gamma$ no tiene que ser Lipschitz. La continuidad absoluta es suficiente.