Estoy tratando de probar que si$f\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un$\mathcal{C}^1$ mapeado tal que$f'(x)$ es una isometría (lineal) para cada$x \in \mathbb{R}^n$, entonces$f$ es un Isometría. Mediante una aplicación del teorema del mapa inverso y del teorema del valor medio, tenemos que$|f(x) - f(y)| = |x-y|$ siempre que$x$ y$y$ estén lo suficientemente cerca. ¿Cómo extender esto a todo el espacio?
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He aquí una forma mucho más simple argumento. Deje $X\subseteq\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ con $$X = \{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n|d(x,y) = d(f(x),f(y)) \}.$$ Note that $(x,x)\X$ for any $x$, so $X\neq \emptyset$. Your observation is equivalent to the statement that $X$ is open. To see $X$ is closed, note that if $g:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ with $g(x,y) = d(x,y) - d(f(x),g(y))$, then $g$ is continuous since $d$ and $f$ are, and $X = g^{-1}(0)$. Hence, $X$ is a nonempty clopen subset of $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, so $X = \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, so $f$ es una isometría.
(Edición final)
Este es un enfoque, tomado de la geometría de Riemann.
Deje $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ ser cualquier línea recta paramaterized por arclength, lo que significa que $\|\gamma(t)-\gamma(s)\| = |t-s|$ cualquier $t$$s$. Vamos a mostrar que el $f\circ \gamma$ también es una línea recta parametrizadas por arclength.
Creer en esto por un segundo, para $x$ $y$ $\mathbb{R}^n$ si $\gamma$ es el elegido para ser la línea que va a través de$x$$y$$\gamma(t) = x$$\gamma(s) = y$, luego tenemos \begin{align*} d(x,y) &= \|\gamma(t)-\gamma(s)\|\\\ &= |t-s|\\\ &= \|f(\gamma(t))-f(\gamma(s))\| \\\ &= d(f(x),f(y)), \end{align*} establecer lo que queremos.
Así que, ¿por qué es $f\circ \gamma$ una línea recta con parámetros por arclength? Esto se desprende de su observación de que $\|f(x)-f(y)\| = \|x-y\|$ $x$ $y$ juntos. Más específicamente, mirando el punto de $\gamma(t)$, sabemos que para $s$ cerca de $t$ (y, por tanto, $\gamma(s)$ cerca de $\gamma(t)$), que $\|f(\gamma(t)) - f(\gamma(s))\| = \|\gamma(t)-\gamma(s)\|$. Esto implica que para el segmento de la línea de puntos cerca de $\gamma(t)$, $f($segmento$)$ es otro segmento de línea, parametrizadas por arclength.
Desde $\mathbb{R}$ está conectado, por lo que es $f(\gamma(\mathbb{R}^n))$. Esto implica que $f(\gamma(\mathbb{R}^n))$ es una unión de segmentos de línea punto a punto final, donde cada segmento es parametrizada por arclength. Esta es una línea recta iff no hay esquinas. Pero si $f(\gamma(t_0))$ se encuentra en una esquina, a continuación, $f$ trae puntos cerca de $\gamma(t_0)$, pero a su lado, más cerca juntos, contradiciendo su anterior observación de que localmente $f$ preserva la distancia.
