¿Tiene una ecuación el Icosidodecaedro?

Question

Parece que utilizando la función de valor absoluto esto es posible. Sea $ q = 1 $ y $ p = \frac{1 + \sqrt 5}{2} $ entonces , $$\left|\frac{z}{q} + \frac{y}{p} \right| + \left|\frac{z}{q} - \frac{y}{p} \right| + \left|\frac{x}{p} + \frac{y}{q} \right| + \left|\frac{x}{p} - \frac{y}{q} \right| + \left|\frac{z}{p} + \frac{x}{q} \right| + \left|\frac{z}{p} - \frac{x}{q} \right|= 64 $$ describe un Icosidodecaedro.

La Circunsfera tiene un radio $ 16(\sqrt 5 -1) $ . ¡Me sorprendió mucho encontrar esto! La pregunta general es, ¿cuáles son las ecuaciones de algunos poliedros conocidos? (Yo incluiría los sólidos platónicos, arquimedianos y catalanes, ya que han aparecido ejemplos de cada clase, ¡junto con muchas manchas de aspecto extraño! )

Parece que estos poliedros son duales de los zonoedros. Una colección bastante amplia, aunque como se ha señalado, la situación genérica es bastante sencilla.

Answer 1

Un poliedro convexo es la intersección de un número finito de semiespacios, y un semiespacio se describe mediante una ecuación lineal de la forma

$$ ax + by + cz + d \ge 0$$

Utilizando la función de valor absoluto, puedes convertir esto en

$$ (ax + by + cz + d) - \lvert ax + by + cz + d\rvert = 0$$

Puedes combinar múltiples desigualdades utilizando el hecho de que una suma de cuadrados de números reales sólo será cero si cada número de entrada es cero. Así obtendrías

$$ \sum_i \bigl((a_ix+b_iy+c_iz+d_i)-\lvert a_ix+b_iy+c_iz+d_i\rvert\bigr)^2 = 0$$

Así que ahora tienes una receta genérica para convertir cualquier poliedro convexo, descrito como un conjunto de desigualdades, en una única ecuación utilizando la función de valor absoluto. No es una ecuación elegante, sin duda, pero es muy genérica.