Probando $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

Question

Demuestra la propiedad distributiva de los conjuntos:

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

No soy bueno con las pruebas pero tengo entendido que tengo que demostrar 2 cosas:

(1) $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cap C)$

(2) $A \cap (B \cap C) \supset (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Parte (1)

Si $x\in A$ entonces $x \in (A \cup B)$ y $x \in (A \cup C)$ .

$\therefore x \in (A \cup B) \cap (A \cap C)$

Si $x \in (B \cap C)$ entonces $x \in (A \cup B)$ y $x \in (A \cup C)$ porque $x \in B$ y $x \in C$ .

$\therefore x \in (A \cup B) \cap (A \cap C)$

$\therefore A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Parte (2)

Ahora tenemos que demostrar la desigualdad inversa: $(A \cup B) \cap (A \cap C)$ . Entonces $x \in A \cup B$ y $x \in (A \cup C)$

Si $x \in A$ entonces $x \in A \cup (B \cap C)$

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Aquí es donde estoy. Quería saber si mi planteamiento es correcto y si he hecho la parte (1) correctamente. Estoy atascado en la parte (2) y no sé cómo proceder. Agradecería cualquier ayuda.

¡Gracias!

Answer 1

Primero debe probar 2 casos:

(1) $A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$

(2) $(A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A \cap (B \cup C)$

Tenga en cuenta que en matemáticas utilizamos los siguientes símbolos:

$\cap=$ Y = $\land$

$\cup=$ O = $\lor$

Caso 1: $A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Dejemos que $x \in A \cap (B \cup C) \implies x \in A \land x \in (B \cup C)$

$\implies x \in A \land \{ x \in B \lor x \in C \}$

$\implies \{ x \in A \land x \in B \} \lor\{ x \in A \land x \in C \} $

$\implies x \in (A \cap B) \lor x \in (A \cap C)$

$\implies x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$\therefore x \in A \cap (B \cup C) \implies x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$\therefore A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Caso 2: $(A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A \cap (B \cup C)$

Dejemos que $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \implies x \in (A \cap B) \lor x \in (A \cap C)$

$\implies \{x \in A \land x \in B \} \lor \{ x \in A \land x \in C \}$

$\implies x \in A \land \{ x \in B \lor x \in C\}$

$\implies x \in A \land \{B \cup C \}$

$\implies x \in A \cap (B \cup C)$

$\therefore x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \implies x \in A \cap (B \cup C)$

$\therefore (A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A \cap (B \cup C)$

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$\therefore A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Answer 2

Dejemos que $X = A \cap (B \cup C)$ y $Y = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Para demostrar que $X=Y$ Debemos demostrarlo:

1. $X \subseteq Y$
2. $Y \subseteq X$

Caso 1: $X \subseteq Y$

Si $x \in X$ entonces $x \in A$ y $x \in (B \cup C)$

Esto último implica que $x$ es un miembro de al menos uno de los siguientes $B$ o $C$ .

A partir de aquí procederemos en 3 casos:

Caso A: $x \in B$ y $x \notin C$

Sabemos por lo anterior que $x \in A$ .

Si $x \in B$ y $x \in A$ entonces $x \in (A \cap B)$ .

Si $x \in (A \cap B)$ entonces $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

$(A \cap B) \cup (A \cap C) = Y$ Por lo tanto $x \in Y$ .

Caso B: $x \notin B$ y $x \in C$

Esto es simétrico al caso A.

Caso C: $x \in B$ y $x \in C$

Esto es simplemente una extensión del caso A y del caso B.

Por lo tanto, si $x \in X$ entonces $x \in Y$ , lo que implica $X \subseteq Y$ .

Caso 2: $Y \subseteq X$

Si $y \in Y$ entonces $y$ es un miembro de al menos uno de los siguientes $(A \cap B)$ o $(A \cap C)$ .

De nuevo, tenemos 3 casos:

Caso A: $y \in (A \cap B)$ y $y \notin (A \cap C)$ .

El primero implica $y \in A$ y $y \in B$ por la definición de intersección.

Si $y \in B$ entonces $y \in (B \cup C)$ .

Si $y \in A$ y $y \in (B \cup C)$ entonces $y \in (A \cap (B \cup C))$ .

$(A \cap (B \cup C)) = X$ Por lo tanto $y \in X$ .

Caso B: $y \notin (A \cap B)$ y $y \in (A \cap C)$ .

Esto es simétrico al caso A.

Caso C: $y \in (A \cap B)$ y $y \in (A \cap C)$ .

Esto es simplemente una extensión del caso A y del caso B.

Por lo tanto, si $y \in Y$ entonces $y \in X$ , lo que implica $Y \subseteq X$ .

Del caso 1 y del caso 2, tenemos:

$X \subseteq Y$ y $Y \subseteq X$ Por lo tanto $X = Y$ , lo que implica $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Esto completa la prueba.

Answer 3

Una forma sencilla es hacer una prueba de cálculo, empezando por el lado más complejo, para calcular qué elementos están en $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ para todos $x$ , $$ \begin{align} & x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\cap$; definition of $\cup$, twice"} \\ & (x \in A \lor x \in B) \land (x \in A \lor x \in C) \\ (*) \; \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify by 'factoring out' $x \in A$, using the fact that $\lor$ distributes over $\land$"} \\ & x \in A \lor (x \in B \land x \in C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\cap$; definition of $\cup$"} \\ & x \in A \cup (B \cap C) \\ \end{align} $$ Ahora, por extensionalidad (es decir, conjuntos iguales tienen los mismos elementos) se deduce que $$(0) \;\;\; A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

Obsérvese que no necesitamos demostrar dos $\subseteq$ casos. También hay que tener en cuenta que el paso clave $(*)$ utiliza la ley lógica $$(1) \;\;\; P \lor (Q \land R) \;\equiv\; (P \lor Q) \land (P \lor R)$$ Vemos que $(0)$ y $(1)$ tienen la misma estructura. Como $(1)$ está en el dominio de la lógica, es más útil en general que $(0)$ que sólo es aplicable cuando se trata de conjuntos.