Lemma de Poincaré para soportes verticales compactos en Bott y Tu

Question

Estoy tratando de averiguar la Proposición (6.16) de Bott y Tu que establece que $H^*_{cv}(M\times\mathbb{R}^n)$ es isomorfo a $H^{*-n}(M)$. El primer grupo son formas compacta apoyado a lo largo de la fibra.

La idea es definir la cadena de mapas de un espacio (de la forma) a la otra. Uno de los mapas, $\pi_*$, es la integración a lo largo de la dirección vertical y la otra, $e_*$ (supuestamente) dada por acuñamiento con $n$ muchas golpe funciones de $e$ integral $1$, uno en cada una de las fibras de las variables.

Es muy claro que el $\pi_*\circ{e_*}=id$. Para demostrar que el otro es el de la composición de la identidad (en cohomology), que me siga lo que hace el libro en anteriores pruebas y tratar de construir un homotopy operador $K:\Omega^*_{cv}(M\times\mathbb{R}^n)\rightarrow\Omega^{*-1}_{cv}(M\times\mathbb{R}^n)$ como sigue.

$$K(\phi f(x,t)dt_I):=\sum_{i}^{}(\phi\int_{-\infty}^{t_i}f(x,t)dt_i(-1)^{i-1}dt_{I-{i}}-\phi\int_{-\infty}^{\infty}f(x,t)dt_i(-1)^{i-1}.\int_{-\infty}^{t_i}e(s)ds.dt_{I-i})$$ Where $\phi$ is a form pulled back from $M$, $I$ is a multi-index and $x$, $t$ denotar las dependencias en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente. (Nota, esto es, de hecho, de forma compacta apoyado a lo largo de la fibra)

He intentado muchas veces para mostrar ahora $Kd-dK=1-e_*\circ{\pi_*}$ (hasta un constante) sin suerte y estoy empezando a pensar que algún cuidado especial debe ser tomado en la definición de los mapas. Mis cálculos me permite cancelar casi todo en la $dK-Kd$ conseguir $c(1-e_*\circ{\pi_*})$ y de uno a otro término. Yo no puede deshacerse de los que no deseados plazo y otro problema es que la constante de $c$ a veces desaparece dependiendo de cuántos términos hay en $I$ (Cuando la hay, la mitad que $n$, la dimensión de la fibra).

No espero una completa cálculo ($dK$$Kd$8 cada uno) como una respuesta como la que sería muy tedioso y complicado (Pero sería genial si alguien pudiera hacerlo!). Pero espero que alguien que ha hecho esto antes me puede decir si este es el enfoque. Los libros dice que esta proposición 'lleva más de pie de la letra (4.7)", que me parece muy triste.

Answer 1

Para tomar esta fuera de la onu-respondió cola - pero (básicamente literal) como en los comentarios anteriores.

Lema Supongamos $A,B$ $C$ son diferencial de objetos (por ejemplo, los complejos), y los pares $$f:A\to B \text{ and } \phi:B\to A$$ y $$g:B\to C \text { and } \gamma:C→B$$

de los mapas de desplazamientos de los con $d$ - por ejemplo, $df=fd$ donde $d=d_B$ $d=d_A$ como relevantes, y así sucesivamente, para $\phi$,$g$ y $\gamma$. Supongamos que hay homotopies $K:A→A$, e $L:B→B$: $$ Kd−dK=1−\phi f \text { and }Ld−dL= 1−\gamma g.$$

Entonces hay una homotopy $M:A\to A$: $$Md−dM=1−\phi\gamma gf,$$ donde $M=\phi Lf+K.$

La prueba del lema es inmediata....

Usando el lema, se puede intercalar homotopies, 'matar' una dimensión a un tiempo, es decir, mediante el uso de la homotopy de una dimensión del libro:

$$K_N:\Omega^*_{cv}(N\times\mathbb{R}^1)\rightarrow\Omega^{*-1}_{cv}(N\times\mathbb{R}^1),$$ con $N= M \times \mathbb R^k$, e $k = 0, \cdots,\ n-1$, donde, en la notación de la pregunta original, $K_N\phi f =0$, y (hasta firmar, dependiendo del peso de la forma, si se quiere utilizar el lema anterior, exactamente como se indica), $$K_N \phi f(x,t)\,dt = \phi\left ( \int^{t}_{-\infty} f(x,s)\,ds - \int^t_{-\infty} e(s)\,ds \cdot \int^\infty_{-\infty} f(x,s)\,ds\right).$$