$\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}+\frac{1}{1-e^{-\frac{ik\pi}{n+1}}}=1$?

Question

Estoy trabajando en una tarea en la que parte de ella está mostrando que la $S_k=0$ incluso $k$ $S_k=1$ por extraño $k$, donde

$$S_k:=\sum_{j=0}^{n}\cos(k\pi x_j)= \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n}(e^{ik\pi x_{j}}+e^{-ik\pi x_{j}}) $$

Aquí $x_j=j/(n+1)$.

Por lo tanto, trabajando a través del álgebra:

$$\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n} e^{ik\pi x_{j}} +e^{-ik\pi x_{j}}) =\dots =\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{ik\pi}}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-ik\pi}}{1-e^{-\frac{ik\pi}{n+1}}} $$

Obviamente $S_k=0$ incluso $k$'s, ya que $e^{i\pi\cdot\text{even integer}}=1$. Pero cuando $k$ es impar llegamos $$\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}+\frac{1}{1-e^{-\frac{ik\pi}{n+1}}}$$ que no es, obviamente, uno para mí, al menos. Wolfram alpha confirma es igual a 1.

Mi pregunta: ¿Cómo hace uno para ver que es igual a 1?

Answer 1

$ \ Frac {1} {1-e} {- a}} = \ frac {1} {1-e ^ {- a}} \ cdot \ frac {e} {E ^ a} {e ^ a-1} = \ frac {-e ^ a} {1-e ^ a}. $$

Por lo tanto $$ \ frac {1} {1-e ^ a} \ frac {1} {1-e ^ {- a}} = 1. $$

Answer 2

Recordatorios primero:

$$\forall w,z \in \mathbb C, \overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\overline w}{\overline z}$ $$$\forall w,z \in \mathbb C, \overline{w+z}=\overline w +\overline z$ $$$\forall a\in \mathbb R, \overline{e^{ia}}=e^{-ia},$ $ Aplique estas reglas a$$\forall z \in \mathbb C, z+ \overline z=2 \Re( z)$ $

ps

Entonces deja$$\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}$ La siguiente identidad contiene:$$\overline {\left(\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}\right)}=\frac{\overline1}{\overline1- \overline {e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{ik\pi}{n+1}}}$ $

Ahora si dejamos$\alpha:=\Re\left(\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}} \right)$,

ps

De ahí$$\frac{1}{1-e^{\frac{ik\pi}{n+1}}}+\frac{1}{1-e^{-\frac{ik\pi}{n+1}}}=2 \alpha$ $

Answer 3

Para ver que la expresión dada es igual a$1$, configure

$\omega = e^{\frac{ik\pi}{n + 1}}, \tag{1}$

Entonces la expresión se convierte en

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

ya que $\dfrac{1}{1 - \omega} + \dfrac{1}{1 - \bar{\omega}} = \dfrac{1 - \bar{\omega} + 1 - \omega}{(1 - \omega)(1 - \omega)} = \dfrac{2 - (\omega + \bar{\omega})}{(1 - \omega)(1 - \bar{\omega})}$.

Espero que esto ayude. Cheerio,

Y como siempre,

¡¡¡Fiat lux!!!

Answer 4

Utilizar identidades trigonométricas

En la suma de la RHS, los términos que quedan son

$-\sin (\frac{k \pi}{n+1}) + \sin (\frac{k \pi n}{n+1}) + \sin (k \pi)$ Que obviamente es igual a$0$ cuando$k$ es par, y$-2 \sin(\frac{k \pi}{n+1})$ cuando$k$ es impar.