¿Existen grupos de torsión infinitos con muchas clases de conjugación? Uno puede ver fácilmente que no hay tales grupos con sólo dos clases de conjugación. Obsérvese también que uno puede construir grupos libres de torsión con muchas clases de conjugación a través de extensiones HNN.
Respuestas
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Sí, hay grupos como este. En la Geometría de la Definición de las Relaciones en los Grupos por Ol'shanskii esto se describe en el capítulo pasado, y como un ejemplo particular que le da infinitas $p$ grupos con exactamente $p$ clases conjugacy (Thm 41.2), y creo que a él le da crédito a Ivanov para el enfoque básico.
Él utiliza la misma tecnología de cancelación utilizado para la construcción de Tarski monstruos (fg infinito p-grupos).
Shinwari
Puntos
11
La primera finitely generado ejemplos fueron construidos primero por Ivanov (he encontrado este hecho en Osin de papel, a continuación).
Tenga en cuenta que Denis Osin construyeron los primeros ejemplos de finitely grupos generados con exactamente dos clases conjugacy. Él señala en la página 2 de su artículo que Ivanov de las ideas no puede ser extendida a probar Osin del resultado. (Osin del papel apareció en los Anales de las Matemáticas y es la culminación de una gran pieza de trabajo en las pequeñas cancelación de la teoría relativamente hiperbólico grupos).
Ivanov construcción es como un límite de hiperbólico de los grupos, $G$ es tal que existen normal subgrupos $N_1\lhd N_2\lhd\cdots \lhd F$ de un grupo libre $F$ tal que $F/N_i$ es hiperbólica para todos los $i$ $G=F/N$ donde $N=\cup N_i$. Supongamos que $G$ tiene dos clases conjugacy. Entonces existen elementos $g, t$ tal que $t^{-1}gt=g^2$, y por lo tanto existe cierta $i$ de manera tal que esta identidad se mantiene en $F/N_i$. Sin embargo, esta identidad nunca se tiene en hiperbólico grupos (Osin cites aquí los textos más antiguos de la hiperbólico grupos, pero creo que esto es debido a Gersten y Corto y es un poco más tarde).
Esta identidad es también la razón por la que un grupo con dos clases conjugacy debe ser de torsión libre (sólo en caso de que a alguien le interesa!). Supongamos que $G$ tiene dos clases conjugacy y contiene torsión. A continuación, todos los no-trivial elemento de primer orden $p>2$. Tenga en cuenta que no existe $g, t$ tal que $t^{-1}gt=g^2$, y así tenemos el $g^{2p-1}=t^{-p}gt^pg^{-1}=gg^{-1}=1$, y, por tanto,$2p-1=0\mod p$. Pero, por supuesto, por Fermat poco teorema tenemos que $p-1=0\mod p$, lo $2p-2=0\mod p$, una contradicción.
