Deje $X$ ser un suave compleja variedad proyectiva y definir $$Hdg^k(X)=H^{2k}(X,\mathbb{Z})\cap H^{k,k}(X)$$ el grupo de integral $(k,k)$ en los ciclos de la $X$. Ahora es un hecho que podemos asociado a la compleja subvariedad de $X$ un elemento en $Hdg^{k}(X)$ pero no acabo de conseguir los detalles de la asociación. Por lo que he reunido hasta ahora creo que estamos trabajando con el diagrama de
$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} \mathcal{Z}_p(X) @>{i}>> H_{2n-2p}(X;\mathbb Z) @>{PD}>> H^{2p}(X;\mathbb Z)\\ @VVV @. @VV{i}V \\ H^{2n-2p}_{dR}(X)^* @>{\cong}>> H^{2p}_{dR}(X) @>{de Rham}>> H^{2p}(X;\mathbb{C}) \end{CD}$$
Donde a lo largo de la fila superior tenemos un mapa $$Z\mapsto [Z]\mapsto [Z]^{PD}$$ Donde $^{PD}$ denota la de Poincaré doble y $[Z]$ el pushforward de la clase fundamental de $Z$ sobre la inclusión. A lo largo de la fila de abajo tenemos un mapa $$Z\mapsto \left[\omega\mapsto \int_Zi^*\omega\right]\mapsto\left( \alpha \text{ s.t. } \int_{X}\beta\wedge \alpha=\int_Zi^*\beta\right)\mapsto \left(\alpha^{top} \text{ s.t. }\alpha^{top}(V)=\int_V\alpha\right)$$ (se supone que la $Z$ es suave y todo eso para hacer las cosas más fáciles). El último mapa es dado por la inversa de la de Rham isomorfismo.
Ahora la imagen de la fila inferior, puede ser fácilmente demostrado ser una clase de tipo $(p,p)$. La imagen de la fila superior es claramente la imagen de la integral cohomology de clase, por definición.
Ahora bien, si este diagrama de desplazamientos tenemos un mapa de $Z_p(X)\to Hdg^p(X)$. Sin embargo, no veo por qué este diagrama debe conmutar. Así que mi pregunta es: ¿por qué el diagrama anterior viaje?
Voy a agregar el siguiente enlace. En la parte inferior de la página $148$ los autores estados sin pruebas (he cambiado el nombre de los objetos para ser coherente con la anterior):
La canónica de morfismos $H_{2n-2}(X,\mathbb{Z})\to H^{2n-2p}(X,\mathbb{C})^*$ lleva el topológica de la clase $[Z]$ de una analítica subespacio $Z$ de codimension $p$ $X$ en la clase fundamental $\left[\omega\mapsto \int_Zi^*\omega\right]$. Del mismo modo, los morfismos $H^{2p}(X,\mathbb{Z})\to H^{2p}(X,\mathbb{C})$ lleva el topológica de la clase $[Z]^{PD}$ $[\alpha^{top}]$
Estoy buscando una prueba de este resultado. (esto es equivalente con el diagrama de arriba, los desplazamientos, pero podría dar un poco más de contexto)
