Demuestre que$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$ utiliza un análisis complejo

Question

Estoy tratando de mostrar que$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$ al considerar la integración en torno a un rectángulo en la mitad superior plano complejo y sustituir$z = x$. Pero no estoy seguro de cómo proceder desde aquí. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Yo no integrar a lo largo de un rectángulo, sino a lo largo de un semicírculo a lo largo del eje real y, a continuación, se cierra en la mitad superior del plano.

Desde $\sin x$ es impar, tenemos:

\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(x)}{(x^2+1)^2}dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(x)+i\sin(x)}{(x^2+1)^2}dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}dx\\ \end{align}

Considerar el contorno integral, donde el contorno $\Gamma$ corre a lo largo del eje real de $-R$ $R$y luego se cierra en la mitad superior del plano, que podemos dividir en dos partes:

$$\oint_\Gamma\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}dz=\int_{-R}^R\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}dx+\int_\text{Arc}\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}dz$$

Sin embargo, por el Teorema de los Residuos, tenemos: \begin{align} \oint_\Gamma\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}dz &= 2\pi i \text{ Res}\left(\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2},i\right)\\ &=2\pi i\lim\limits_{z\rightarrow i}\frac{d}{dz}\frac{e^{iz}}{(z+i)^2}\\ &=2\pi i\lim\limits_{z\rightarrow i}\frac{ie^{iz}(z+3i)}{(z+i)^3}\\ &=2\pi i\frac{ie^{-1}\cdot4i}{(2i)^3}\\ &=\frac{\pi}{e} \end{align}

Así tenemos:

$$\frac{\pi}{e}=\int_{-R}^R\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}dx+\int_\text{Arc}\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}dz$$

Tomando el límite cuando $R\rightarrow\infty$, la integral a lo largo del arco de la semi-círculo se desvanece, porque el positivo de la parte imaginaria de $z$ conduce a un aumento exponencial factor de amortiguamiento en la mitad superior del plano.

Por lo tanto, nos quedamos con nuestro resultado deseado:

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(x)}{(x^2+1)^2}dx = \frac{\pi}{e}$$

Answer 2

Escríbela $\cos(x) = \Re(e^{ix}) $, por lo que desea calcular $\Re\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}dx.$ Ahora usted puede decir que esto es igual a $\Re\int_{\mathcal{C}} \frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}dz$ donde $\mathcal{C}$ es contra reloj, orientado infinitamente grande y cerrada, rectángulo en la mitad superior del plano con su parte inferior en el eje real. Esto es cierto porque el integrando decae rápidamente a cero, como se $|z|\rightarrow\infty$ en la mitad superior del plano.

Ahora desde $\mathcal{C}$ es un contorno cerrado, la integral se puede calcular por el teorema de los Residuos. Por lo que necesita para encontrar los polos en el interior del contorno y calcular sus residuos. El denominador es $(z^2+1)^2 = (z+i)^2(z-i)^2,$, por lo que se ve como el polo que usted necesita para encontrar el residuo es el 2º fin de polo en$z=i.$, por Lo que buscar la forma de calcular el residuo de una segunda orden de polo, y el cálculo.

(Básicamente, usted necesita para expandir $e^{iz}/(z+i)^2$ como una serie de Taylor alrededor de $i$. El residuo será el coeficiente de la $(z-i)^1$ plazo).