Deje $P$ $Q$ ser complejas de polinomios con $deg(P) < deg(Q)$.
Deje $Q(z) = (z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2}...(z-z_m)^{k_m}, z_i \in \mathbb{C} \text{ and } k_i \in \mathbb{N}$ ser una descomposición completa. Entonces, tengo que demostrar que no existe una única exposición de la siguiente forma:
$\frac{P(z)}{Q(z)} = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^{k_i} \frac{a_{ij}}{(z-z_i)^j}, a_{ij} \in \mathbb{C}$
Empecé con la prueba de la singularidad de esta exposición y lo consiguió. Sin embargo, no me siento como yo lo estoy haciendo ahora bien, tratando de probar su existencia. Básicamente, quiero hacer dos inducciones:
En primer lugar quiero hacer una inducción sobre$deg(Q)$$deg(P) = 0$, entonces yo quiero ir con una inducción sobre $deg(P)$ con un arbitrario $deg(Q)$. El inicio de la primera inducción es fácil, pero no puedo llegar a una final en la inducción de paso. Tengo algo así como:
$\frac{P}{Q} = \frac{P}{(z-z*)Q'} = \frac{1}{z-z*} \frac{P}{Q'}$ donde $Q'$ es un polinomio con $deg(Q') = n$.
¿Qué debo hacer a continuación? Sé que una única exposición existe para la segunda fracción y si $z* = z_i$ algunos $i$, se ha demostrado, creo. Pero lo que si esta $z*$ es completamente un nuevo número complejo?
