¿Por qué la acción tiene que ser hermética?

Question

La hermeticidad de los operadores de los observables, por ejemplo el hamiltoniano, en QM se suele justificar diciendo que los valores propios deben tener valor real.

Sé que el lagrangiano no es más que una transformación de Legendre del hamiltoniano y, por tanto, también es hermitiano.

Me pregunto si hay alguna otra razón por la que el lagrangiano debe ser hermitiano en la QFT, esto también me hizo preguntarme, ¿por qué es necesario que la acción sea real? me estoy perdiendo algún otro principio subyacente aquí?

Answer 1

La acción clásica (de las partículas o de los campos) tiene que ser real, porque esto significa un Lagrangiano clásico real. Esto es necesario porque los momentos (canónicos) se obtienen (por ejemplo para una partícula) a partir del Lagrangiano mediante $p_i = \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \dot x^i}$ y los momentos son reales.

En QM o QFT, la acción tiene que ser entendida como una fase, más precisamente la amplitud de probabilidad a una historia $H$ que ocurra es (en $\hbar = 1$ unidades) :

$\psi_H = e^{iS_H}$

donde $S_H$ es la acción clásica de la historia $H$ .

Para tener la amplitud de probabilidad cuántica total, hay que sumar sobre todas las historias posibles :

$\psi = \int [DH]\psi_H = \int [Dh]e^{iS_H}$

Por tanto, la acción no corresponde a una cantidad medible, es una fase inobservable, no es un observable.

Si la acción fuera un observable, debería poder seleccionar una historia particular entre todas las historias, en cierto sentido, extraer un comportamiento clásico específico de un comportamiento cuántico, lo cual no es posible.

Answer 2

En la teoría cuántica, el Matriz S es unitario para preservar el concepto de probabilidades que suman el 100%. La unitaridad se aplica mediante un limitación/condición de la realidad . Por ejemplo, en el formulación de la integral de la trayectoria $$Z~=~ \int {\cal D}\phi~e^{\frac{i}{\hbar}S},$$ la acción $S$ debe ser de valor real.