¿Un operador no limitado $T$ con un espectro no vacío tienen un espectro no limitado?

Question

Es bien sabido que el espectro de un operador acotado en un espacio de Banach es un conjunto acotado cerrado (y no vacío) en el plano complejo. Y tampoco es difícil encontrar operadores no acotados cuyo espectro sea vacío o todo el plano complejo.

Por el contrario, supongamos que $T$ es un operador no limitado en un espacio de Banach $E$ y tiene un espectro no vacío, ¿implica esto que el $\sigma(T)$ no tiene límites en $\mathbb{C}$ ? Por lo que sé, si $\sigma(T)$ está acotado, entonces implica que $\infty$ es el punto singular esencial del resolvente $(\lambda-T)^{-1}$ pero no sé cómo formar una contradicción.

Answer 1

Si el espectro está acotado, entonces mediante el cálculo funcional holomórfico podemos extraer una proyección:

$\displaystyle P = \frac{1}{2\pi i} \intop_\gamma (\lambda - T)^{-1} d\lambda$ ,

donde $\gamma$ encierra el espectro. Intuitivamente, hay que pensar que esto separa la "parte acotada" $TP$ (que sí está acotado, ya que $T\left(\lambda-T\right)^{-1}=\lambda\left(\lambda-T\right)^{-1}-1$ ) y la parte $T-TP$ que tiene el espectro vacío en $\mathbb{C}$ cuando se restringe a $\ker P$ pero debe considerarse que tiene un punto en el infinito, ya que su inverso es un operador acotado con espectro $\{0\}$ .

Answer 2

Weidmann da una proposición para comprobar la acotación investigando el rango numérico (véase la proposición 2.51 en la versión alemana de "Lineare Operatoren in Hilberträumen" de Weidmann). Esto tiene sentido ya que el rango numérico es el objeto natural cuando se estudia la acotación en lugar del espectro...

Establece que para (a) operadores arbitrarios en espacios de Hilbert complejos o (b) operadores simétricos no necesariamente definidos densamente en espacios de Hilbert arbitrarios tenemos:

-->El operador está acotado si su rango numérico está acotado.

Para operadores normales no necesariamente acotados y densamente definidos tenemos:
(La relajación a las cerradas falla en general como se ve en rango numérico vs espectro .)

-->El espectro está contenido en el cierre del rango numérico.

Así que el esquema es el siguiente: $$A\text{ bounded}\iff\mathcal{W}(A)\text{ bounded}$$ $$N^*N=NN^*:\quad\sigma(N)\subseteq\overline{\mathcal{W}(N)}$$

Pero aparte de eso no hay (por desgracia) mucho que decir, supongo.

Por cierto, si te preocupan más las pequeñas sutilezas como la densidad, etc. Weidmann es un buen libro para. Trata de mantener estos aspectos siempre (molesta o afortunadamente) en discusión.