Mostrar que para todos$(x,y)$ existe$(r,\theta)$ ...

Question

Dado un problema en el que $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, a menudo me transformación a coordenadas polares mediante la introducción de la hipótesis de que $(r,\theta)$ satisfacer $x = r\cos \theta, y = r\sin \theta.$

Por supuesto, que sólo es seguro introducir supuestos si usted tiene un teorema de existencia. Esto motiva la siguiente.

Teorema 1. Para todos los $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ existe $r \in [0,\infty)$ $\theta\in \mathbb{R}$ tal que $x = r\cos \theta, y = r\sin \theta.$

Se me ocurre que no tengo idea de cómo probar esto. Ideas, cualquier persona? Tenga en cuenta que el resultado anterior es equivalente a la siguiente.

Teorema 1'. Para la única función $f : [0,\infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ con la definición de la propiedad $f(r,\theta)=(r\cos \theta, r\sin \theta)$, sostiene que $f$ es surjective.

Otro resultado interesante, añade singularidad en la mezcla.

Teorema 2. Para todos los verdaderos $\alpha$, tenemos que para todos los $(x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, existen únicas $r \in (0,\infty)$ $\theta \in [\alpha,\alpha+2\pi)$ tal que $x = r\cos \theta, y = r\sin \theta.$

De nuevo, esto puede ser modificado en el lenguaje de funciones.

Teorema 2'. Para todos los verdaderos $\alpha$, tenemos que para la única función de $g : (0,\infty) \times [\alpha,\alpha+2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ con la definición de la propiedad $g(r,\theta)=(r\cos \theta, r\sin \theta),$ sostiene que $g$ es bijective.

No sabría por dónde empezar a probar alguna de estas.

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Ahora también hay un problema aquí de cómo estamos definiendo $\cos$$\sin$. Estoy pensando que sería la mejor forma de utilizar las siguientes definiciones.

Definición 1. No hay una única función de $c$ satisfactoria el problema de valor inicial $c''=-c,$ $c(0)=1,$ $c'(0)=0$. Llamarlo $\cos$.

Definición 2. No hay una única función de $s$ satisfactoria el problema de valor inicial $s''=-s,$ $s(0)=0,$ $s'(0)=1$. Llamarlo $\sin$.

Si alguien sabe cómo demostrar el teorema de la(s) mediante otro conjunto de definiciones, que también está bien.

Answer 1

Comience con el caso de que$(x,y)$ está en el primer cuadrante. Luego hay un triángulo rectángulo con vértices$O=(0,0)$,$A=(x,y)$, y$B=(x,0)$, y$x=OB=r\cos\theta$% Es el ángulo$y=AB=r\sin\theta$.

A continuación, extienda las funciones trigonométricas de la manera estándar a los otros cuadrantes y pruebe que las fórmulas también funcionan allí.

Answer 2

En el capítulo 8 de los Principios de Rudin de análisis matemático hay una sección denominada funciones trigonométricas (que comienza en la página 167 de mi edición). Allí encontrará un argumento del tipo que está buscando. Pero incluso allí la continuidad de la función de argumento$(x,y)\mapsto \phi(x,y)$ no se aborda.

Answer 3

Para demostrar que algo existe, necesitas encontrarlo. Intente$r$ tal que$r^2 = x^2 + y^2$ y$\theta$ tal que$\tan \theta = \frac{y}{x}$. Por supuesto, esto supone que dado un$x\in\mathbb{R}$,$x^2 \in \mathbb{R}$ (que se puede probar usando la teoría de grupo) y dado$x,y\in\mathbb{R}$ . Este último necesita una restricción adicional que$\theta \in \mathbb{R}$ para cualquier$\tan \theta = \frac{y}{x}$.