Mapa lineal trayectoria densa

Question

¿Existe una dimensión finita $\mathbb{R}$ -espacio normado $V$ con $x_0 \in V$ y mapa lineal $T \colon V \to V$ tal que $\{T^nx_0\}_{n=1}^{\infty}$ es denso en $V$ ?

Tengo esta pregunta del Análisis Lineal Introductorio de Bollobas. Mi intuición se inclina hacia el no, pero no puedo llegar a un argumento convincente sin asumir cosas. Hay una pista dada y es demostrar primero el resultado sobre un $\mathbb{C}$ -espacio normado.

Answer 1

Supongamos que existen $V,T,x_0$ .

Sea $V_{\mathbb C} = V\oplus V$ sea la complejización de $V$ donde incrustamos conónicamente $V$ en $V_\mathbb C$ y $T_{\mathbb C}:V_{\mathbb C}\to V_{\mathbb C}$ sea la extensión complejo-lineal de $T$ . $V_{\mathbb C}$ y luego también ${V_\mathbb C}'$ es de dimensión finita, por lo tanto ${T_{\mathbb C}}'$ debe tener un vector propio $x'$ con el correspondiente valor propio $\lambda$ . Desde $V$ es un $\mathbb R$ -subespacio lineal de $V_{\mathbb C}$ y $x'$ es lineal, $x'(V)$ es un $\mathbb R$ -subespacio lineal de $\mathbb C$ . No puede ser el subespacio trivial porque entonces $x'$ desaparecería en todos los $V_\mathbb C$ lo que contradice $x'\neq 0$ . Afirmamos que $\{x'({T_\mathbb C}^nx_0): ~n\in\mathbb N\}$ es denso en $x'(V)$ en particular, contiene valores arbitrariamente pequeños y arbitrariamente grandes (en términos de módulo). Para comprobarlo, veamos $y\in x'(V)$ y $x\in V$ con $x'(x) = y$ . Entonces, por suposición, existe una secuencia de números naturales $(n_k)_{k\in\mathbb N}$ con ${T_\mathbb C}^{n_k}x_0 = T^{n_k}x_0 \to x$ . Por continuidad de $x'$ tenemos $x'({T_\mathbb C}^{n_k}x_0) \to y$ .

Por otro lado, $x'({T_\mathbb C}^nx_0) = [({T_\mathbb C}')^nx']x_0 = \lambda^n x'(x_0)$ . Pero si $|\lambda|>1$ esto no supone valores pequeños arbitrarios y si $|\lambda|\leq 1$ entonces no asume valores arbitrariamente grandes.