Como usted dice, del teorema de Sylow, $n_5=1$ o $n_5=6$. Si $n_5=1$, hemos encontrado un subgrupo normal de $25$, por lo que estamos por hacer. Así que vamos a suponer que $n_5=6$. Vamos a exponer un subgrupo normal de orden $5$ como sigue. Deje $P$ $Q$ ser distintos Sylow $5$-subgrupos. Utilizando el hecho de que $|PQ| = \frac{|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}$, es fácil ver que $|P\cap Q| = 1$ es imposible! Así llegamos a la conclusión de que el subgrupo $T=P\cap Q$ orden $5$.
Pretendemos que $T$ es normal en $G$. Es un hecho si $H$ es un buen subgrupo de un $p$grupo $L$, $H$ está correctamente contenida en su normalizador $N_{L}(H)$ (véase aquí para una prueba). Desde $P$ $Q$ $p$- grupos, podemos aplicar este resultado. Por lo tanto, $T\subsetneq N_{P}(T)$$T\subsetneq N_{Q}( T)$. Por lo $N_{P}(T) = P$$N_{Q}(T)=Q$. Esto inmediatamente le da $P\subseteq N_{G}(T)$$Q\subseteq N_{G}(T)$, lo que implica $PQ \subseteq N_{G}(T)$. De nuevo, utilizando la fórmula anterior, $PQ=\{p \cdot q: p\in P, q\in Q\}$ (como un subconjunto) tiene cardinalidad $125$. Por consideraciones de orden, tenemos que $N_{G}(T)=150$, lo $N_{G}(T)=G$ $T$ es un subgrupo normal de orden $5$.
Esto demuestra la pista. Ahora vamos finalmente a mostrar que $G$ tiene un subgrupo normal de orden $25$. Así que vamos a $T$ ser el subgrupo normal de orden $5$ construido anteriormente. A continuación, el cociente grupo $G/T$ orden $150/5=30$. Ahora, cada grupo de orden $30$ contiene una normal de Sylow $5$-subgrupo (ver este MSE hilo). Deje $H$ ser un subgrupo normal de orden $5$$G/T$, y considerar la canónica mapa de $\pi: G\to G/T$. A continuación, $\pi^{-1}(H)$ es normal subgrupo de $G$. Por el teorema de la correspondencia, $[G: \pi^{-1}(H)]=[G/T: H]=6$, lo $\pi^{-1}(H)$ es el deseado normal subgrupo de índice $6$, es decir deseado subgrupo de orden $25$.
(Esto muestra que en el caso de $n_5=6$ es realmente imposible, y sólo hay un subgrupo de orden $25$, que es el $5$-subgrupo de Sylow)
