Mostrar que la topología discreta es la única mayor que$\tau_l$

Question

$(X,\le)$ es un conjunto parcialmente ordenado, definimos $U_l(x)=\{y\ |\ y\le x\}$, e $\tau_l$ es la topología generada por $\{U_l(x)\}$. Queremos demostrar que la topología discreta es la única en la que es mayor que $\tau_l$.

No entiendo esta pregunta, porque creo que podemos tomar: $X=\{1,2,3\}$ con la costumbre de ordenar. Podemos encontrar $\tau_l=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$. Pero podemos añadir $\{2\}$ como un conjunto abierto para obtener la topología $\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$, que es mayor que $\tau_l$ pero menor que la topología discreta.

Así que estoy malentendido algo aquí, o es que esta pregunta no es correcta?

Answer 1

Yo creo que has leído mal la pregunta.

Él te pide demostrar que la topología discreta es la única topología mayor que el de $\tau_l$ $\tau_r$ donde $\tau_r$ es la topología generada por todas las $U_r(x)=\{y|x\leq y\}$. Para una topología de ser mayor tanto de estas topologías, que ha de contener tanto todo el lado derecho de intervalos Y todo el lado izquierdo de los intervalos.

En el ejemplo que he dado anteriormente, cualquier topología mayor que el de $\tau_l$ $\tau_r$ tendría que contener$\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}$$\{1,2,3\}, \{2,3\},\{3\}$. Si usted juega con uniones e intersecciones, vas a ver que esta es la topología discreta.