demostrar que $x+y+z\ge 2$

Question

Sea $x,y,z\ge 0$ . Si $$x^{2016}y^{2016}+y^{2016}z^{2016}+x^{2016}z^{2016}=1$$ entonces muestra que $$x+y+z\ge 2$$

He intentado $$(x+y+z)^2-3(xy+yz+xz)=\dfrac{1}{2}\left[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right] \ge 0$$ por lo que tenemos $$(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+xz)$$ pero estoy atrapado aquí. ¿Cómo puedo continuar con esta prueba?

Answer 1

Para $z=0$ y $x=y=1$ obtenemos un valor $2$ .

Demostraremos que es un valor mínimo.

De hecho, tenemos que demostrar que $$\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^{4032}\geq\sum_{cyc}x^{2016}y^{2016},$$ para lo cual demostraremos lo siguiente.

Sea $x$ , $y$ y $z$ sean números no negativos y nutural $n\geq2$ . Demuéstralo: $$\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^{2n}\geq x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n.$$ 1. $n=2$ .

Tenemos que demostrar que $$(x+y+z)^4\geq16(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2).$$ En efecto, por AM-GM $$(x+y+z)^4=\left(\sum_{cyc}(x^2+2xy)\right)^2\geq8\sum_{cyc}x^2\sum_{cyc}xy=$$ $$=8\sum_{cyc}(x^3y+x^3z+x^2yz)\geq8\sum_{cyc}(x^3y+x^3z)\geq8\sum_{cyc}(2x^2y^2)=16(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2).$$ 2. Ahora, $$\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^{2k+2}=\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^4\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^{2k-2}\geq$$ $$\geq\sum_{cyc}x^2y^2\sum_{cyc}x^{k-1}y^{k-1}=\sum_{cyc}(x^{k+1}y^{k+1}+x^{k+1}y^{k-1}z^2+x^{k+1}z^{k-1}y^2)\geq$$ $$\geq x^{k+1}y^{k+1}+x^{k+1}z^{k+1}+y^{k+1}z^{k+1}.$$ Así, por inducción para terminar la prueba queda demostrar que $$(x+y+z)^6\geq64(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3).$$ Podemos hacerlo de forma similar: $$(x+y+z)^6=(x+y+z)^4\sum_{cyc}(x^2+2xy)\geq16\sum_{cyc}x^2y^2\sum_{cyc}(x^2+2xy)=$$ $$=16\sum_{cyc}(x^4y^2+x^4z^2+x^2y^2z^2+2x^3y^3+2z^3y^2z+2x^3z^2y)\geq$$ $$\geq16\sum_{cyc}(x^4y^2+x^4z^2+2x^3y^3)\geq16\sum_{cyc}(2x^3y^3+2x^3y^3)=64\sum_{cyc}x^3y^3$$ ¡y ya está!