¿En los espacios completos separables metrizables, los conjuntos compactos generan el álgebra de Borel$\sigma$ -?

Question

¿En los espacios completos separables metrizables, los conjuntos compactos generan el álgebra de Borel$\sigma$ -? No creo que esto sea cierto. ¿Puede alguien ayudarme con un contraejemplo?

Answer 1

Cualquier espacio separable de Banach de dimensión infinita es un contraejemplo, por ejemplo$L_1$. Los conjuntos compactos son escasos, por lo que generan un álgebra secundaria del conjunto de conjuntos que son escasos o muy poco. Pero el álgebra de Borel contiene la bola unidad, que no es ni escasa ni venganza.

Answer 2

Cualquier espacio separable$X$ que es$not \ \sigma-$ compacto es un contraejemplo. Para ver esto, deje que$\mathscr S$ sea el$\sigma-$ anillo de todos los conjuntos borel definidos por$\sigma-$ y luego defina$\mathscr S^c:=\left \{ E^{c}\in \mathscr P(X): E\in \mathscr S\right \}.$ Entonces$\mathscr S\cup \mathscr S^c$ álgebra Generado por$\sigma-$ que contiene el álgebra de Borel$\mathscr S$ generado por los conjuntos compactos, pero no todo$\sigma-$